理论力学复习资料

1、第十二章 动量矩定理动量是描述质点系随质心平动的一个动力学量，它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心或某一固定点的运动规律。本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态与外力矩之间的关系动量矩定理。主要内容：刚体对轴的转动惯量质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体定轴转动微分方程质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程重点内容：动量矩定理的应用及刚体平面运动的运动微分方程12-1 刚体对轴的转动惯量一、定义刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和。若刚体的质量是连续分布，则转动惯量恒为正值单位：量

2、纲:刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度。二、转动惯量的计算积分法（具有简单几何形状的均质刚体转动惯量的计算）均质细直杆对轴的转动惯量设杆长为，单位长度的的质量为，取一微元段，其质量为，此杆对转动惯量均质细圆环对中心轴的转动惯量均质细圆环半径为，质量为。将圆环沿圆周分成许多微元段，每段质量为，到中心轴的距离均为。则圆环对中心轴转动惯量均质薄圆板对中心轴的转动惯量设均质薄圆板半径为，质量为，单位面积质量为。将圆板分成许多同心细圆环，圆环半径为，宽度为，则细圆环的。质量为。圆板对中心轴的转动惯量为惯性半径（回转半径）比较以上简单物体转动惯量表达式知，均质刚

3、体转动惯量与质量的比值仅与刚体的几何形状和尺寸有关，几何形状相同而材料不同的刚体，上述比值相同。令并称为刚体对轴的惯性半径（又称回转半径）。对不同材料的刚体，若已知，则对轴的转动惯量可按下式计算该式说明，若把刚体的质量全部集中于一点，并令该质点对于轴的转动惯量等于刚体的转动惯量，则质点到轴的垂直距离就是刚体对于轴的惯性半径。为方便使用，将部分简单几何形状的物体的转动惯量及惯性半径列于下表。简单几何形状物体的转动惯量物体简图转动惯量惯性半径体积细直杆，薄壁圆筒圆柱空心圆柱实心球圆环矩形簿板在工程技术中，一些形状已经标准化的零件，其转动惯量和回转半径可从有关手册中查阅。平行轴定理刚体对任一轴的转动

4、惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积，即该定理的证明请参阅一般的理论力学教材。由该定理知，在所有相互平行的各轴中，刚体对过质心的轴的转动惯量最小。组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量， 然后再加起来例1：钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为。求摆对过悬挂点的水平轴的转动惯量。解：记均质细杆、圆盘对过悬挂摆点的水平轴的转动惯量分别为、，则摆对过悬挂点的水平轴的转动惯量式中。记为圆盘对中心轴转动惯量，由平行轴定理则对于几何形状复杂的物体，工程中常用悬挂的方法，通过

5、对微小摆动周期的测定，计算物体对过悬挂点轴的转动惯量。实验方法常用的方法：扭转振动法；复摆法；落体观测法等。下面以复摆法为例加以说明。将复摆悬挂，测定其微小摆动的周期T。则复摆对悬挂点的转动惯量为12-2 质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩1、对点O的动量矩瞬时矢量方向：垂直于矢径与动量所形成的平面指向：按右手法则确定大小：单位：量纲:2、对轴的动量矩以矩心O为坐标原点，建立直角坐标系Oxyz，由矢量积定义质点的动量对固定点的动量矩在通过该点的任一固定轴上的投影等于质点的动量对该固定轴的动量矩二、质点系的动量矩1、对点O的动量矩质点系各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称质点系动量对O点的主

6、矩。2、对轴的动量矩质点系各质点对同一轴的动量矩的代数和。质点系对某固定点O的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩 三、刚体的动量矩1、平移刚体将全部质量集中于质心作为一个质点计算2、定轴转动刚体（式中Jz为刚体对转轴的转动惯量）3、平面运动刚体z轴垂直于刚体运动平面Jc为刚体对质心轴的转动惯量例2：滑轮A：m1，R1，J1；滑轮B：m2，R2( R1=2R2)，J2；物体C：m3，v3；求：系统对O轴的动量矩。解：系统动量矩：（逆时针为正）12-3 动量矩定理一、质点的动量矩定理1、对于定点的动量矩定理两边对时间求导，得质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上的

7、力对同一点之矩。质点对定点的动量矩定理2、投影式质点对于定轴的动量矩定理3、守恒式恒量恒矢量即：若作用于质点的力对于某定点（或定轴）的矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或称动量矩守恒。质点动量矩守恒定律二、质点系的动量矩定理1、对于定点的动量矩定理即：质点系对于某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的主矩。质点系对定点的动量矩定理投影式即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。质点系对定点动量矩定理的投影式注意问题动量矩定理中的点或轴应为惯性参考系中的固定点或固定轴；而对一般动点和动系其动量矩定理的形

8、式比较复杂。所有运动量（如速度、角速度等）均为相对于惯性参考系的绝对量；质点系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，而内力不能改变质点系的动量矩；在计算动量矩和外力矩时，符号规定应一致；守恒式恒量恒矢量即：若外力系对于某定点（或定轴）的矩的矢量和（或矩的代数和）恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或称动量矩守恒。质点系动量矩守恒定律例2：如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮绕定轴O转动，转动惯量为JO，两个质量分别为mA和mB的物块系在跨过圆轮的绳子两端，其中物块B因水平绳子的牵引在光滑水平面上运动。若不计绳子的质量和轴承O的摩擦，并设绳子与圆轮之间无相对滑动，试求圆轮的角加速度

9、。解：（1）取整个系统为研究对象（2）受力分析如图 （设以逆时针转向为正）（3）运动分析，计算（设以逆时针转向为正）（4）由质点系对定轴O的动量矩定理，有由运动学关系：解得：解题步骤选取研究对象；分析质点系所受的外力（画受力图），计算外力矩；分析质点系的运动，计算动量矩；应用质点系动量矩定理建立方程，求解未知量。12-4刚体定轴转动微分方程一、动量矩其中为刚体对z轴的转动惯量二、转动微分方程即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。刚体定轴转动微分方程三、求解动力学的两类基本问题已知刚体的转动规律，求作用于刚体的主动力；轴承处的约束反力由刚体绕定轴的

10、转动微分方程无法求出，需用质心运动定理求解。已知作用于刚体的主动力，求刚体的转动规律。例3：已知刚体的质量为m，质心到转轴O的距离OC=a，刚体绕水平轴O作微幅摆动的周期为T，求刚体相对于转轴的转动惯量。 解：建立刚体的转动微分方程式，以摆的平衡位置作为j角的起点，逆时针方向为正，即作微幅摆动时微分方程的通解为其中及a由运动的初始条件确定，而振动的周期为12-5质点系相对于质心的动量矩定理一、质点系的动量矩二、质点系相对于质心的动量矩定理即：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理质点系对于质心的动量矩定理在形式上与对于定点的动

11、量矩定理完全一致。即使质心有加速度时，质点系对于质心的动量矩定理也是成立的，即适用于非惯性系。当外力系相对质心的主矩为零时，质点系对于质心的动量矩守恒。即如将质点系的运动分解为跟随质心的平移和相对质心的转动，则可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。质点系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。相对质心的动量矩定理应用的关键问题是计算可由定义式计算：也可由下式计算：故计算质点系相对质心的动量矩时，可用相对惯性系的绝对速度，也可用相对固连于质心的平移坐标系的相对速度136 刚体的平面运动微分方程一、运动分解（选质心C为基点）随质心C的平移绕质心C的

12、转动二、平面运动微分方程随质心C的平移质心运动定理绕质心C的转动相对于质心的动量矩定理（过质心C且垂直S的轴）刚体的平面运动微分方程或：投影式：例4：半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转半径为，作用于圆轮上的力偶矩M，圆轮与地面间的静摩擦因数为f。求：(1)轮心的加速度；(2)地面对圆轮的约束力；(3)轮作纯滚动时力偶矩M必须满足的条件。解：取圆轮为研究对象，圆轮作平面运动受力分析：如图所示 运动分析：设轮心加速度为圆轮的角加速度为列出圆轮的平面运动微分方程：因圆轮作水平直线运动，故有圆轮作纯滚动（只滚不滑）时，有：轮作纯滚动的条件：例5：均质细杆AB，长l，重P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦。若杆在铅垂位置受