数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数.ppt

1、第十三章,函数列与函数项级数,13.1 一致收敛性,一 点态收敛,二 函数项级数（或函数序列）的基本问题,三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性,四 一致收敛性判别,五 小结,问题的提出,问题:,（一）函数项级数的一般概念,1.定义:,一 点态收敛,现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,4.函数项级数与其部分和,在本质上是完全一致的。,二 函数项级数（或函数序列

2、）的基本问题,1.极限运算与无限求和运算交换次序问题,2.求导运算与无限求和运算交换次序问题,3.极限运算与无限求和运算交换次序问题,1.函数列及其一致收敛性,三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性,2.函数项级数的一致收敛性,定义,几何解释:,例2,解,余项的绝对值,例3,研究级数,在区间( 0 , 1内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,因此级数在( 0, 1 )内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,小结一致收敛性与所讨论的区间有关,三一致收敛性判别,定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）,2.一致收敛的柯西准则,1用定义,由上确界的定义，亦有,定理13-3（函数项级数一致收敛的柯

3、西准则）,定理13.5（Weierstrass判别法）,4.一致收敛性简便的判别法：,证,例4,证明级数,证,（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.,5.,五、小结,点态收敛,函数项级数（或函数序列）的基本问题,一致收敛性判别,函数项级数（或函数列）的一致收敛性,13.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质,一 一致收敛函数列的性质,二 函数项级数的性质,一. 一致收敛函数列的解析性质,1 函数及限与序列极限交换定理,2.连续性定理,估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项,註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛,即极限次序可换 .,3. 可积性定理,4. 可微性定理,（ 对

4、第二项交换极限与积分次序）,亦即求导运算与极限运算次序可换.,二 函数项级数的性质,1.逐项求极限定理,2.连续性定理,定理13.12,证,(1),(2),同样有,(3),由(1)、(2)、(3)可见,定理13.13,(4),3.逐项求积定理,证,根据极限定义，有,即,定理13.14,(5),4.逐项求导定理,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,第十三章习题课,一、主要内容,二、典型例题,一、函数项级数主要内容,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,函数项级数的一致收敛性,定义,定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）,一致收敛性简便的判别法：,一致收敛级数的基本性质,定理1,定理2,(4),定理3,(5),注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,二、典型例题,原级数发散.,收敛;,发散;,例2,解,余项的绝对值,例3,研究级数,在区间( 0 , 1内的一致