系统的时域分析.ppt

1、第四章 系统的时域分析 The Analysis for the Time Domain of System,第一节 概述 Overview 一、 时域分析法 二、 瞬态响应(transient response)和稳态响应(steady response),非齐次微分方程式的解应包括两部分： 其中，是对应于次微分方程式: 的通解，它描述了系统在输入为零时的自由运动，（比如是非周期，还是振荡；是衰减还是渐扩，）称为系统的瞬态响应。 c2(t)为非齐次微分方程的特解，它是系统在输入信号作用下的强迫运动。如果输入信号是阶跃函数，并且系统在此输入作用下能达到稳态此时系统的输出就是c2(t)，所以也称

2、c2(t)为在输入作用下的稳态响应。 因此，系统受到输入作用后，它对输入的响应可描述为： 系统对输入的响应=瞬态响应+稳态响应,第二节 二阶系统分析 The Analysis of The Second Order System,一、 二阶系统的传递函数 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：,其传递函数为：,为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：,式中 二阶系统的无阻尼自然振荡频率 二阶系统的阻尼比 放大系数 特征方程式(characteristic equation)为: 方程的特征根(characteristic root)为：

3、 下面就的四种取值情况进行讨论。,一、 二阶系统的单位阶跃响应(unit step response) 1、 无阻尼(Non-damping)情况（ =0） =0时为,即特征方程的两个根位于虚轴(imaginary axis)上。,其传递函数为 :,当输入信号为单位阶跃信号时：,无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：,、 欠阻尼（Under damping ）情况（0 1） 0 1时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即,系统的传递函数为,当输入信号为单位阶跃信号时，,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：,式中 或,整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为 :,、 临界阻尼(Critic

4、al-damping)情况( ) 时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根：,系统的传递函数为 :,当输入为单位阶跃信号时：,得：,、 过阻尼(Over-damping)情况（ ） 时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：,系统的传递函数为 ：,当输入为单位阶跃信号时：,取的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线:,它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应 ：,和两条衰减的指数曲线组成。 、 的方程分别为：,三、 二阶系统的时域性能指标(Performance Index in the Time Domain),1超调量（overshoot）MP ：,

5、超调量是随着阻尼比的增大而减小的。,图4-6 二阶系统超调量（Mp）、衰减率()、衰减指数(m)与阻尼比()的关系,3. 衰减率(decrement),衰减率的计算公式:,欠阻尼二阶系统的衰减率只与阻尼比有关系，见图4-6中。衰减率随的增大而增大。,衰减指数m :,（4-26）,衰减指数m也是阻尼比的单值函数。m值随的增大而增大。 m、和三种参数之间的关系为,另外，超调量Mp与衰减率之间也存在着一定的关系，即,或,表4-2 二阶系统、Mp、m和值的对应关系,在一般的热工自动调节系统中，通常选择衰减率=0.750.9。,4. 调节时间ts 调节时间ts应满足：,其中是稳态值的5%（或2%），即=

6、0.05c()或=0.02c()。,（采用5%误差带）,（采用2%误差带）,第三节 调节系统的稳定性与代数判据 The Stability and algebraic Criterion of Adjustment System,一、 调节系统稳定性的概念及稳定条件 下面分析调节系统稳定的条件。 系统的瞬态响应是系统的微分方程式所对应的齐次方程的解。对应的齐次方程为,它的特征方程式（即令传递函数的分母等于零）为：,设特征方程式的n个根为S1，S2，Sn，则描述系统瞬态响应的通解为：,式中，Ai是常数。 下面介绍两种代数判据：劳斯判据和古尔维茨判据。,二、劳斯判据(Routh Criterion

7、 ),1、劳斯判据 已知系统的特征方程式为,系统稳定的必要（但不是充分）条件是： 特征方程式（4-43）的各项系数全都是正值。 如果满足这一必要条件，就可利用下述劳斯方法判别系统的稳定性。,劳斯判据叙述如下：特征方程式的所有根全部位于复平面左半平面 （即系统稳定）的必要和充分条件是该方程式的全部系数都是正值，而且由该方程式作出的劳斯阵列第一列的系数都是正值。如果第一列系数中出现负值，那么系统就是不稳定的。第一列系数正、负符号改变的次数，就是特征方程式位于复平面右半平面的根（即正根）的个数。,例4-2 系统的特征方程：,试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯阵列为：,因为第一列系

8、数有两次变号，故该特征方程有两个正实部根。,2、劳斯判据的特殊情况,应用劳斯判据判别系统稳定性时，在劳斯阵列中有时会出现某一行的第一个系数为零或某一行系数全都为零的情况。这时系统是不稳定的或临界稳定的。,（1）如果某一行的第一个系数为零，而这一行的其它各系数不全都是零，要确定根的性质，可以用一个很小的正数代替这第一个零系数，然后按一般步骤继续进行。,例4-3 已知系统特征方程式为,试判断系统的稳定性及在虚轴右边根的个数。 解：劳斯阵列为：,当0时，第三行的第一个数为正；第四行第一列系数为 当0，该数趋于+，第五行第一列系数为 ， 当0，该数为-3。上述阵列第一列变号两次，因此系统不稳定， 特征

9、方程式有两个根在虚轴右边。,如果零()上面的系数与零()下面的系数符号相同，则表明有一对虚根存在。,（2）如果在最后一行之前就出现某一行的系数全都为零，表明特征方程中有一些大小相等、但位置相反的根，比如大小相等、符号相反的实根；一对共轭虚根；或对称于实轴的两对共轭复根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助多项式，对辅助多项式求导（对S），然后把辅助多项式求导后的系数代替全零行，以后按一般步骤完成劳斯阵列。此辅助多项式等于零时求出的根，就是特征方程式中几个对称于原点的根。,例4-4 已知系统特征方程式为,试用劳斯判据判别系统特征方程正根的个数。 解：劳斯阵列为,由于出现全零行，故用行系数构成

10、辅助多项式,求辅助多项式F(s)对S的导数，得,用上述方程的系数替换原来表中的零行，然后再按正常规则计算下去。得到:,( ),此劳斯阵列中的第一列都是正值，说明特征方程式没有正根（在虚轴右边没有根），而由辅助方程式，即,得出:,和,这就是系统特征方程式的两对虚根，因此系统边界稳定。,三、古尔维茨判据(Hurwitz Criterion),已知调节系统的特征方程式为,则古尔维茨判据叙述如下：调节系统稳定的必要和充分条件是特征方程的各项系数为正（即不缺项，不为负），且古尔维茨行列式K（K=1，2，n）全部为正。,各阶古尔维茨行列式为：,式中，下标大于n的系数，都以零代替。注意n阶古尔维茨行列式的主

11、对角线元素为a1、a2、an，而小于n阶的各阶古尔维茨行列式，是n阶古尔维茨行列式中对角线上所有的子行列式。,已经证明，当n阶系统的特征方程式系数全为正值时，应用古尔维茨判据并不需要计算n个行列式，只要检验n-1，n-2，2，1是否大于零就够了。这使计算工作量减少很多。,例4-6 对于四阶系统，其特征方程式为,用古尔维茨判据求系统稳定的条件。 解：据古尔维茨判据，系统稳定的条件为,a40，a30，a20，a10，a00,即特征方程所有系数为正，且需30。 这里，4的表达式是,此题只需计算到3就行了，不需再计算4。 根据古尔维茨判据，可写出二、三、四阶系统的稳定条件： n=2：a00，a10，a20 n=4：a00，a10，a20，a30，a40，,n=3：a00，a10，