高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.5 直接证明与间接证明课件(理).ppt

1、第五节 直接证明与间接证明,【知识梳理】 1.直接证明,原因,结果,结果,原因,已知,可知,必要,未知,需知,已知,充分,2.间接证明反证法 要证明某一结论Q是正确的,但不直接证明,而是先去 _(即Q的反面非Q是正确的),经过正确的 推理,最后得出_,因此说明非Q是_的,从而断 定结论Q是_的,这种证明方法叫做反证法.,假设Q不成立,矛盾,错误,正确,【特别提醒】 1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论. 2.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理

2、过程是错误的.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-2P89练习T2改编)若 (a0),则P,Q的大小关系是() A.PQB.P=Q C.PQD.由a的取值确定,【解析】选A.假设PQ,要证PQ,只需证P2Q2, 只需证:2a+13+ 2a+13+ 只需证a2+13a+42a2+13a+40,只需证4240, 因为4240成立,所以PQ成立.,感悟考题试一试 2.(2016忻州模拟)用反证法证明命题“若a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是() A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除 C.a,b不都能被5整除D.a能被5整除,【解析】选

3、B.“至少有一个能被5整除”的反面是“都不能被5整除”.,3.(2016亳州模拟)实数a,b,c满足a+b+c=0,abc0, 则 的值() A.一定是正数B.一定是负数 C.可能是0D.正、负不确定,【解析】选B.由a+b+c=0,abc0得a,b,c中必有两负一 正,不妨设a0,且|a|c|,则 ,从而 而 0,所以 0.,4.(2016肇庆模拟)在不等边三角形中,a为最大边,要 想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足. 【解析】根据余弦定理,cosA= 所以b2+c2a2. 答案:b2+c2a2,考向一分析法 【典例1】已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的 x1,x2R,均

4、有 【解题导引】代入计算较为烦琐,很难证明结论,宜用 分析法.,【规范解答】要证明 即证明 因此只要证明 即证明 因此只要证明,由于x1,x2R,所以 由基本不等式知 显然成立,故原结论成立.,【规律方法】分析法的适用范围及证题关键 (1)适用范围: 已知条件与结论之间的联系不够明显、直接. 证明过程中所需要用的知识不太明确、具体. 含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导. (2)证题关键:保证分析过程的每一步都是可逆的.,【变式训练】已知m0,a,bR, 求证: 【解题提示】结论较为复杂,采用分析法倒推较为简单.,【证明】因为m0,所以1+m0, 所以要证 即证(a+mb)2(1+m

5、)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0, 即证(a-b)20, 又(a-b)20显然成立,所以,【加固训练】 1.已知非零向量a,b且ab,求证: 【证明】要证 只需证|a|+|b| |a+b| 只需证|a|2+2|a|b|+|b|22(a2+2ab+b2) 因为ab,所以ab=0,所以只需证|a|2+|b|2-2|a|b|0, 即证(|a|-|b|)20, 上式显然成立,故原不等式得证.,2.已知函数f(x)=tanx,x 若x1,x2 且x1x2,求证: f(x1)+f(x2),【证明】要证 f(x1)+f(x2) 即证 (tanx1+tanx2)tan , 只需证明 只需证

6、明 由于x1,x2 故x1+x2(0,), 所以cosx1cosx20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0,故只需证明1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2,即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx22cosx1cosx2, 即证cos(x1-x2),3.已知a,b(0,+),求证: 【证明】因为a,b(0,+),所以要证原不等式成立, 只需证 即证(a3+b3)2(a2+b2)3, 即证a6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6, 只需证2a3b33a4b2+3a2b4.,因为a,b(0,+), 所以即证2ab2ab成立, 以上步骤步步可逆, 所

7、以,考向二综合法 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:与几何有关的证明 【典例2】(2015高邮模拟)如图,已知斜 三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点. (1)若平面ABC平面BCC1B1,求证:ADDC1. (2)求证:A1B平面ADC1.,【解题导引】(1)由点D为等腰三角形底边BC的中点,利用等腰三角形的性质可得ADBC,再利用已知面面垂直的性质即可证出. (2)可以连接A1C,交AC1于点O,再连接OD,利用三角形的中位线定理,即可证得A1BOD,进而再利用线面平行的判定定理证得.,也可以取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,D1B,可得四边形BDC1D

8、1及D1A1AD是平行四边形,进而可得平面A1BD1平面ADC1,再利用线面平行的判定定理即可证得结论.,【规范解答】(1)因为AB=AC,D为BC的中点, 所以ADBC, 因为平面ABC平面BCC1B1, 平面ABC平面BCC1B1=BC,AD平面ABC, 所以AD平面BCC1B1, 因为DC1平面BCC1B1,所以ADDC1.,(2)方法一:连接A1C,交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点, 因为D为BC的中点, 所以ODA1B, 因为OD平面ADC1, A1B平面ADC1, 所以A1B平面ADC1.,方法二:取B1C1的中点D1, 连接A1D1,DD1,D1B,则D1C1 BD.

9、 所以四边形BDC1D1是平行四边形,所以D1BC1D. 因为C1D平面ADC1,D1B平面ADC1, 所以D1B平面ADC1, 同理可证:A1D1平面ADC1,因为A1D1平面A1BD1,D1B平面A1BD1,A1D1D1B=D1, 所以平面A1BD1平面ADC1, 因为A1B平面A1BD1,所以A1B平面ADC1.,命题方向2:与不等式有关的证明 【典例3】(2016九江模拟)已知a0,b0, 证明:a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc. 【解题导引】由已知条件利用基本不等式证明.,【规范解答】因为b2+c22bc,a0, 所以a(b2+c2)2abc, 又因为c2+a22ac,b0

10、, 所以b(c2+a2)2abc, 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,【母题变式】 1.本例条件不变,证明 【证明】因为a0,b0,所以a+b2 ,当且仅当a=b时取 等号,所以(a+b)24ab,所以 即,2.本例条件不变,证明a3+b3 (a2+b2). 【证明】a3+b3- (a2+b2) 当ab时, 从而 得,当ab时, 从而 得 所以a3+b3 (a2+b2).,命题方向3:与数列有关的证明 【典例4】(2016石家庄模拟)已知数列an满足a1= , 且an+1= (nN*). (1)证明:数列 是等差数列,并求数列an的通项公式. (2)设bn=anan+1(nN*

11、),数列bn的前n项和记为Tn,证明: Tn .,【解题导引】(1)取倒数,求出 便可得证. (2)求出bn通项公式是证明结论的关键.,【规范解答】(1)由已知可得,当nN*时,an+1= , 两边取倒数得, 即 =3, 所以数列 是首项为 =2,公差为3的等差数列, 其通项公式为 =2+(n-1)3=3n-1, 所以数列an的通项公式为an=,(2)由(1)知 故,故Tn=b1+b2+bn 因为 0,所以Tn .,【技法感悟】 综合法证明问题的常见类型及方法 (1)与几何有关的证明:首先利用点线面位置关系的判定或性质,也可利用向量法证明,其次要进行必要的转化.,(2)与不等式有关的证明:充分

12、利用函数、方程、不等式间的关系,同时注意函数单调性、最值的应用,尤其注意导数思想的应用. (3)与数列有关的证明:充分利用等差、等比数列的通项及前n项和公式转化证明.,【题组通关】 1.(2016咸阳模拟)设a,b,c0,证明: 【证明】因为a,b,c0,根据基本不等式, 有 三式相加, +a+b+c2(a+b+c), 即,2.(2016邯郸模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列. (2)若C= ,求证5a=3b.,【证明】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,

13、因为sinB0,所以sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理,有a+c=2b, 即a,b,c成等差数列.,(2)由C= ,c=2b-a及余弦定理得 (2b-a)2=a2+b2+ab, 即有5ab-3b2=0, 所以 即5a=3b.,考向三反证法 【典例5】(2015湖南高考)设a0,b0,且a+b= 证明: (1)a+b2. (2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,【解题导引】(1)将已知条件中的式子等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证.(2)利用反证法,假设a2+a2与b2+b2同时成立,可求得0a1,0b1,从而与ab=1矛盾,即可得证.,【规范解答】由a+b= a0,b0

14、,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得 0a1,同理0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾,故a2+a2 与b2+b2不可能同时成立.,【规律方法】反证法的适用范围及证明步骤 (1)适用范围: 否定性命题; 命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的;,当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明,而其逆否命题又是非常容易证明的; 要讨论的情况很复杂,而反面情况很少.,(2)证明步骤: 假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; 由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止; 由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题

15、的结论成立.,【变式训练】已知a-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实 数根.,【证明】假设三个方程都没有实数根, 则 所以- a-1. 这与已知a-1矛盾,所以假设不成立,故原结论成立.,【加固训练】 1.等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)求数列an的通项an与前n项和Sn. (2)设bn= (nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 所以d=2,故an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ).,(2)由(1

16、)得bn= 假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,rN*,且互不 相等)成等比数列,则bq2=bpbr. 即(q+ )2=(p+ )(r+ ), 所以(q2-pr)+ (2q-p-r)=0, 因为p,q,rN*,所以 所以 =pr,(p-r)2=0, 所以p=r,与pr矛盾, 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.,2.已知a,b,c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有 一条与x轴有两个不同的交点.,【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴 有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴

17、没有两个不同 的交点),由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0, 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.,上述三个同向不等式相加得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, 所以a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而原命题得证.,3.设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (1)求证:数列Sn不是等比数列. (2)数列Sn是等差数列吗?为什么?,【解析】(1)假设数列Sn是等比数列,则S22=S1S3, 即a12(1+q)2=a1a1(1+q+q2), 因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,这与公比q0矛盾, 所以数列Sn不是等比数列.,(2)当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列,否则2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,这与公比q0矛盾.,4.已知f(x)