点到直线的距离公式的七种推导方法

1、；点到直线的距离公式的七种推导方法已知点p( x0 , y0 ) 直线 l : axbyc0( a0, b0) 求点 p 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义， 点 p 到直线 l 的距离是点p 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点 p 到直线 l的垂线为l ，垂足为 q，由 l l 可知 l 的斜率y plbql 为 axy y0b ( x x0 )图1l 的方程：a与 l 联立方程组解得交点q( b2x0aby0ac, a2 y0abx0bc )a2b2a2b22b2 x0 aby0acx)2(a2 y0abx0bcy )2| pq

2、|(a2b20a2b20(a2 x0aby0ac ) 2(b2 y0abx0bc ) 2a2b2a2b2a2 ( ax0by0c )2b2 ( ax0 by0c )2( ax0by0c ) 2( a2b2 ) 2( a2b2 )2a2b2| ax0 by0c |pq |a2b2二、 函数法证：点 p 到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点p 到直线 l的距离。 在 l 上取任意点q ( x, y) 用两点的距离公式有，为了利用条件 axbyc0 上式变形一下，配凑系数处理得：.；( a2b2 )( xa2 (xx0 ) 2 a(xx0 ) a( xx0 )x0 ) 2( y y0 ) 2 b

3、2 ( y y0 )2a2 ( y y0 )2b2 ( x x0 )2b( yy)2 a( yy )b( xx0)200b( yy0 )2( ax0by0c)2 (ax by c 0)( x x )2( y y)2| ax0 by0c |00a2b2当 且 仅 当 a( yy0 ) b（ xx0） 时 取 等 号 所 以 最 小 值 就 是| ax0by0 c |da2b2三、不等式法证：点 p 到直线 l 上任意一点 q( x, y) 的距离的最小值就是点p到 直 线l的 距 离 。 由 柯 西 不 等 式 ：( a2b2 )( xx0 ) 2( yy0 ) 2 a(xx0 )b( yy0

4、)2( ax0by0c )2ax by c 0,( x x0 )2( y y0 ) 2| ax0by0c |a2b2当 且 仅 当 a( yy0 )b（ x x0） 时 取 等 号 所 以 最 小 值 就 是d| ax0 by0c |a2b2四、转化法ypllypp 作 pmmqqm证：设直线 l 的倾斜角为过点xx y 轴 交 l于m ( x1 , y1 ) 显 然 x1x0 所 以图2图 3y1ax0c| pm | | y0ax0cax0by0cbb| |b|易得 mpq（图 2）或 mpq 1800（图 3）在 两 种 情 况 下 都 有tan 2mpqtan2a2所 以b2cosmpq

5、1| b |1tan2a2b2.；ax0 by0 c| b | ax0 by0 c | pq | | pm | cos mpq |b2a2b2ba2五、三角形法证： p 作 pm y 轴交 l 于 m，过点 p 作 pn x 轴交（图 4）由解法三知| pm | | ax0by0c |；同理得| pn | | ax0by0ba在 rt mpn中， pq是斜边上的高| pm | | pn | ax0by0c | pq | pn |2a2b2| pm |2y pnl 于 nmqxl图4c |六、参数方程法l xx0t cos:t sin 交直线 l 于点 q。 ( 如图证：过点 p( x0 , y

6、0 ) 作直线yy01)由 直 线 参 数 方 程 的 几 何 意 义 知 | t | | pq | ， 将l 代 入l 得ax0at cosby0bt sinc0整理后得 | t | |ax0 by0 c|.(1)acosb sin当 l l 时，我们讨论与 l 的倾斜角的关系：tana0,不妨令 a0,b0,b0 ）有当b900 （图 3）.；得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得| t | ax0by0c | ax0by0c |ypqa2b2a2b2n|b2|a2a2b2lx七、向量法图五证：如图五， 设直线 l : axbyc0( a0, b0) 的一个n(1, b )，q直线上任意

7、一点， 则 pq( x1x0 , y1y0 ) 。从而法向量a点 p 到直线的距离为：| n pq | xxb ( yy ) | a( x1x0 ) b( y1y0 ) |10a10d| n |b2a2b21a2p点在直线 l 上 ,ax1by1c| ax1by1ax0by0 | ax0by0c |0, 从而 da2b2a2b2附：方案一：设点p到直线 l 的垂线段为，垂足ypq为，由 l 可知，直线rp(x0 ,y0)的斜dqpqpqqb率为 a（ a 0），根据点斜式写出直osxl线 pq的方程，并由 l 与 pq的方程求出点 q的坐标；由此根据两点距离公式求出 pq，得到点 p到直线 l 的距离为 d王新敞方案二：设0， 0，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点pab作 x 轴的平行线，交l 于点 r(x1 , y0 ) ；作 y 轴的平行线，交l 于点s( x0 , y2 ) ，.；a1 x1by0c0by0cax0c由 ax0by2c0 得 x1