第2章随机过程.ppt

1、随机变量,与时间无关,随机过程,与时间相关,2.1 随机过程的基本概念及统计特性 2.2 随机过程的微分和积分 2.3 平稳随机过程和遍历性过程 2.4 随机过程的联合概率分布和互相关函数 2.5 复随机过程 2.6 离散时间随机过程 2.7 正态随机过程,第2章 随机过程,2.1 随机过程的基本概念及统计特性,2.1.1 随机过程的基本概念,对接收机的噪声电压作观察,1 样本函数： ， ， ， ，都是时间的函数，称为样本函数。,2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为 ，简写成 。,定义2：若对于

2、每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称 为随机过程. 称为随机过程 在 时刻的状态。,定义1：设随机试验E的样本空间 ，若对于每个元素 ，总有一个确知的时间函数 与它对应，这样，对于所有的 ，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。,3 随机过程的定义：,4定义的理解 ：,上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。 采用定义1，通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性； 常用定义2，对随机过程作理论分析，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。,理解：,一个时间函数族,一个确知的时间函数,一个随机变量,一

3、个确定值,1 和 都是变量,2 是变量而 固定,3 固定而 是变量,4 和 都固定,2.1.2 随机过程的分类,1 按随机过程的时间和状态来分类,连续型随机过程：对随机过程任一时刻 的取值 都是连续型随机变量。,离散型随机过程：对随机过程任一时刻 的取值 都是离散型随机变量。,2 按样本函数的形式来分类,不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。,确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。,3 按概率分布的特性来分类,2.1.3 随机过程的概率分布,1 一维概率分布,随机过程X(t)在任意t1 T的取值X(t1)是一维随

4、机变量。概率PX(t1)x1是取值x1，时刻t1的函数，记为Fx(x1；t1)=PX(t1)x1，称作随机过程 X(t)的一维分布函数。,若 的偏导数存在，则有,2 二维概率分布,FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x2,二维随机变量X(t1),X(t2)的分布函数FX(x1,x2;t1,t2)为,若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则,为随机过程X(t)的二维概率密度,3 n维概率分布,随机过程 在任意n个时刻 的取值,构成n维随机变量 ,定义随机过程 的n维分布函数和n维概率密度函数为,随机过程n维概率分布的性质：,1,2,3,4,5,

5、6 若 统计独立，则有,2.1.4 随机过程的数字特征,随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数。,对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。,1 数学期望,显然， 是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：,物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。,2 均方值和方差,随机过程 在任一时刻t的取值是一个随机变量 .其二阶原点矩称为随机过程的均方值，二阶中心矩记作随机过程的方差。即：,且,物理意义：如果 表示噪声电压，则均方值 和方差 分别表示消耗在单位电阻上

6、的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。,标准差或均方差：,3 自相关函数,具有相同期望和方差的两个随机过程,自相关函数 描述了随机过程任意两个时刻的状态的相关程度。,4 自协方差函数,自协方差函数 反映了随机过程任意两个时刻的起伏值之间相关程度。,比较自协方差和自相关函数的关系,),(,),(,)(,(,),(,(,),(,2,2,1,1,2,1,t,m,t,X,t,m,t,X,E,t,t,K,X,X,X,-,-,=,比较自协方差和方差的关系,例2.1 如果随机过程X(t)为 X(t) = Vcos4t -t 式中V是均值为5、方差为6的随机变量。求X(t)的均值、方差、相关和协方差函

7、数。 例2.2 试证明： （1）若随机过程X（t）加上确定时间函数q(t),则协方差不变。 （2）若随机过程X（t）乘以非随机因子q(t)，则协方差函数乘以q(t1)q(t2),例2.3 如果随机过程X（t）为 X（t）=Ut -t 式中U为在0，1上均匀分布的随机变量。求：过程X（t）的均值、相关函数协方差函数和方差。,例：求随机相位正弦波 的数字期望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。,解：由题可知：,（1）,同理,（2）,可知,（3）,2.1.5 随机过程的特征函数,1 一维特征函数,随机过程 在任一特定时刻t的采样值是一维随机变量，其特征函数为:,其反

8、变换为：,n阶矩,2 二维特征函数,其反变换为：,3 n维特征函数,2.2 连续时间随机过程的微分和积分,2.2.1 随机过程的连续性,1 预备知识：,对于确定性函数 ， 若,则 在 处连续。,2 随机过程 连续性定义,如果随机过程 满足,则称 在t时刻均方意义下连续，简称随机过程 连续。,3 随机过程 的相关函数连续，则 连续,因此，如果对 时刻，相关函数 在 点上连续，则随机过程 必在t 时刻连续。,4 随机过程 均方连续，则其数学期望连续,证：,由均方连续的定义， ，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不可能小于0）,设,即：,注意 为确定性函数，由预备知识，可知连

9、续。,可将此结果写成,2.2.2 随机过程的导数,预备知识： 对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：,一阶可导：,如果 存在，则 在t处可导，记为 。,二阶可导：,存在，则 二阶可导，记为,若,1 随机过程可导的定义,如果随机过程 满足,则称 在t时刻具有均方导数 ，表示为,2 判别方法,判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则,即,而,若 时，存在二阶混合偏导,则,=,可见，随机过程X(t)均方可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶偏导数，即存在,3 数字特征,（1）随机过程导数的数学期望等于随机过程数学期望的导数,证明：,（2）随机过程导数的相关函数等于相

10、关函数的二阶偏导数,证明：,2.2.3 随机过程的积分,1 预备知识,对于确定性函数 ，,其中 ，,2 随机过程积分的定义,随机过程 在确定区间 上的积分Y是一个随机变量，即,若有,则称 为随机过程 在 上的均方积分,可以推广到带有“权函数”的随机过程的积分,3 数字特征,（1）随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。,证明：,（2）随机过程积分的均方值和方差,随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。,(3) 随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后对t2积分）,2.3 平稳随机过程及其遍历性,2.

11、3.1平稳随机过程,1 严平稳随机过程,(1) 定义,如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 n 维概率密度满足：,则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。,(2) 严平稳随机过程的一、二维概率密度及数学特征,严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关,严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时间间隔有关，而与时间起点无关,(3)严平稳的判断,判断随机过程是否为严平稳，需知道其n维概率密度，因此判断是比较困难的。 只要有一个反例，就可判断随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：,(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。,(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻

12、t0， X(t0)具有相同的统计特性。,严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。,例2.4 设随机过程 式中, 皆为常数, 是在 上均匀分布的随机变量.试问:X(t)是否为平稳随机过程?为什么? 例2.5 设有两个随机过程 式中Y是随机变量.试分别讨论过程 的平稳性.,例2.6 设随机过程 式中, 为常数, 为随机变量.其特征函数为 试证:当且仅当 和 时,过程X(t)是宽平稳随机过程.,2.3.2 遍历性或各态历经性,一、遍历性过程的定义,如果一个随机过程 X(t),它的各种时间平均（时间足够长）依概率1收敛于相应的集合

13、平均,则称X(t)具有严格遍历性,并称它为严遍历过程。,1、严遍历性的定义,分别称之为X（t）的时间均值和时间相关函数。它们一般都是随机变量。,和,2、随机过程的时间平均,3、宽遍历性的定义,设X(t)是一个平稳随机过程,如果 （1）、,依概率1成立，则称X(t)的均值具有遍历性 。,依概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有遍历性。 如果随机过程X(t)的均值和自相关函数都具有遍历性，则称X（t）是宽（广义）遍历性过程，简称遍历过程。,（2）、,二、 遍历过程的实际意义,1、遍历过程的重要实际意义 一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均趋近于非随机的确定量。遍历过程诸样本函数

14、的时间平均,实际上可认为是相同的。因此,遍历过程的时间平均就可由它的任一样本函数的时间平均来表示。就这样，遍历过程可以直接用任一个样本函数的时间平均来代替对整个过程统计平均的研究，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。,即,这是引出遍历性概念的重要目的。,2、遍历过程的一、二阶矩的物理意义 若遍历过程X（t）表示噪声电压（电流），则：,分别表示噪声电压（电流）消耗在1欧姆电阻上的总平均功率和交流（起伏）平均功率。,例2.7 讨论例2.4给出的随机过程,是否具有遍历性。,例2.8 讨论随机过程X(t)=Y遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。,三、随机过程具有遍历性的条件 1、随机过

15、程必须是平稳的（必要条件） 遍历过程的数学期望是个常数，相关函数仅与时间间隔有关，因此，它必定是平稳的。,2、平稳随机过程的均值遍历性的充要条件,3、平稳随机过程自相关函数遍历性的充要条件,式中：,证：,原命题等价于：,=,设,则,于是,从而命题得证。,对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数 连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为,注意：判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。,4、,2.3.3 平稳随机过程的性质,性质1,平均功率,性质2,偶对称性,性质3,极值性,一、平稳随机过程的

16、自相关函数性质,对周期性平稳过程X(t)=X(t+T)，T为周期，有 。,性质4,证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到,性质5,若平稳过程含有一个周期分量，则 含有同一个周期分量。,若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，则,性质7,若平稳过程含有平均分量(均值) ，则相关函数也含有平均分量，且等于 , 即,则 。,若X(t)是非周期的，,由协方差函数的定义，可得,由此,若X(t)是非周期，则有,证：,且在t=0时,可得,相关函数（协方差）的典型曲线,例2.10 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求：X（t）均值和方差,例2.11 已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX

17、(t)=100e-10|t|+100cos10t+100求X(t)的均值、均方值和方差。,RX(t)=（100cos10t）+（100e-10|t|+100） = RX1(t)+ RX2(t),所以有,解：,二、平稳过程的相关系数和相关时间,此值在1，1之间。 表示不相关， 表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。,1、相关系数,2、相关时间,当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。,通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ，记做相关时间, 即: 时的时间间隔 为相关时间。,用高为

18、 ,底为 的矩形面积等于阴影面积来定义相关时间,即,物理意义,相关时间 越小，就意味着相关系数 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表时随机过程随时间变化越慢。,2.4 随机过程的联合概率分布和互相关函数,2.4.1 两个随机过程的联合概率分布,设有两个随机过程 和 ,它们的概率密度,分别为,定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数为：,其(n+m)维联合概率密度为：,设两个随机过程 和 ，它们在任意两个时刻t1，t2的取值为随机变量 、 ,则定义它们的互相关函数为：,2.4.2 互相关函数,式中，,是随机过程 和,的二维联合概率密度。,1、定义,随机过程 和

19、 的互协方差函数定义为：,式中， 和 分别是随机变量 和,的数学期望。,此式也可以写成,2、统计独立、不相关、正交的概念,1）、统计独立,若,或,则称随机过程 和 相互独立。,2）、不相关,若两个随机过程 和 对任意两个时刻,t1, t2都具有 或 ，,3）、正交,则称 和 不相关。,若两个随机过程 和 对任意两个时刻,t1, t2都具有 或 ，,则称 和 互为正交过程。,(1) 如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶 矩都存在，则必互不相关。 (2) 正态过程的不相关与相互独立等价。,推论,2.4.3 联合宽平稳和联合宽遍历,（1）联合宽平稳定义,1、定义,（2） 联合宽遍历定义,（3）互协

20、方差与互相关系数,当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差,互相关系数,又称作归一化互样关函数或标准互协方差函数。,注： 。当 时，随机变量 和 互不相关。,2 联合宽平稳的性质,(1),证明：按定义即可证明，说明互相关函数既不是偶函数， 也不是奇函数。,互相关函数的影像关系,(2),证明：,展开得：,所以，,同理，,(3),证明：,由性质(2)，得,注意到,例2.13 已知平稳随机过程：（1）X（t）=Usint+Vcost, Y(t)=Wsint+Vcost,式中U、V、W是均值为零、方差为6的不相关的随机变量；（2）X（t）=Acost+Bsint, Y(t)=Acos2t+Bsin2t

21、,式中A、B是均值为零、方差为3的不相关的随机变量。试问X（t）和Y(t)联合平稳吗？试证明之。,设两个平稳随机过程,试问：X(t)和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、统计独立？,平稳随机过程 X(t)和Y(t)的互相关函数为：,故这两个随机过程是平稳相依的。,例,解：,故KXY(t1,t2)仅在 时等于零，此时X(t1)和Y(t2)是相关的，因而它们不是统计独立的。,2.5 复随机过程,2.5.1 复随机变量,1 定义,2 分布函数,即由X,Y的联合概率分布描述。,3 数字特征,(1) 数学期望,(2) 方差,其中,注：)复随机过程的方差等于它的实部与虚部的方差之和 )复随机过程的方差

22、为非负的实数。,(3) 互相关,设Z1、Z2为两个复随机变量，则,(4) 互协方差,4 两个复随机变量的独立、不相关、正交,1）统计独立,2）不相关,3）正交,2.5.2 复随机过程,1 定义,设 ， 为实随机过程，则定义,Z(t)=X(t)+jY(t),为复随机过程。,2 概率密度函数,Z(t)的统计特性可由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布完整地描述，其概率密度为：,3 数字特征,(1) 数学期望,(2) 方差,(3) 自相关函数,(5) 互相关函数,(6) 互协方差函数,(4) 自协方差函数,4 复随机过程的宽平稳性,若复随机过程满足：,稳复随机过程。 若两个平稳复过程X(t)和Y(

23、t)满足,则称X(t)和Y(t) 联合宽平稳。,则Z(t)为宽平,2.6 正态随机过程,2.6.1 正态随机过程的一般概念,1 正态随机过程的定义,如果随机过程X(t)的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。,2 概率密度函数,式中,mX是n维向量，K是n维阵，其中：,性质:,正态随机过程的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全决定）。,推论:,若复正态随机过程Z(t)的n个采样时刻得到n个复随机变量，即,此n个复随机变量的联合概率密度应是2n维随机变量的联合概率密度。,2.6.2 平稳正态随机过程,1 平稳正态随机过程的定义,若正态随机过程满足下列条件，则它是宽平稳（平稳）正态随机过程。,由平稳随机过程的三大条件（均值为常数，相关函数只与时间差有关，均方值有界）可知， 为确定值，则方差 必为常数，显然，方差为常数，则,理解,也为常数，物理意义是总平均功率等于交流平均功率与直流平均功率之和。,2 平稳正态过程的n维概率密度,平稳正态过程一、二维概率密度表达式,平稳正态过程n维概率密度表达式：,式中，R是相关系数r