创新设计2011第十章排列组合二项式定理10-54.ppt

1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用他们分析和解决一些简单的应用问题,第十章 排列 组合 二项式定理 第54课时 分类计数原理 分步计数原理,1分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 办法，在第一类 办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法， 在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法,类,2分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个 ，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法,步骤,1由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有

2、重复数字的四位数共有() A238个 B.232个 C174个 D168个 解析：可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有343192(个)，其中无重 复的数字的四位数共有3 18(个)，故有重复数字的四位数共有19218 174(个) 答案：C,2已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构 成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A33 B34 C35 D36 解析： 答案：A,3上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为 f(n)，则下列猜想中正确的是() Af(n)n Bf(n)f(n1)f(n2) Cf(n)f(n1)(

3、n2) Df(n) 解析：n1,2时，显然f(n)n，n3时，f(n)f(n1)f(n2) 答案：D,4如右图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_ 种(以数字作答) 答案：72,此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事,【例1】 由数字1,2,3,4 (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数 字，十位数字大于个位数字,解答：(1)百位数共

4、有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成4364个3位数 (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数43224(个) (3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个.,分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于“多步”完成，还是“一步”完成，分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一件事；而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程,【例2】 若Aa1，a2，a3，a4，B

5、b1，b2，b3试问从A到B可建立多少种 不同的映射？ 解答：解法一：可分步计算 第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法； 第二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法； 第三步：a3与B中唯一的元素对应有3种方法； 第四步：a4与B中唯一的元素对应有3种方法 由分步计数原理，可建立从A到B的映射共有3481(个),解法二：可分类计算 第一类：“四对一”的情况共3种； 第二类：“三对一，一对一”的情况共 24(种)； 第三类：“二对一、二对一”的情况共 18(种)； 第四类：“二对一，一对一，一对一”的情况共 36(种) 由分类计数原理从A到B的映射共有81个,变式2.五名学生报名参加四项体

6、育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有 多少种？ 解答：报名的方法种数为4444445(种) 获得冠军的可能情况有555554(种).,对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么 (2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么 (3)用两个计数原理解决的主要问题包括：排数；计算有限集合A到

7、B的 映射的个数；涂色问题等,【例3】 如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？ 解答：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事： 涂A有5种涂法 涂B有4种方法； 涂C有3种方法； 涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色) 根据分步计数原理共有5433180种涂色方法,解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有 60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有603180种涂法 解法三：也可利用分类计数原理计算： 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 120种涂法；

8、 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域颜色一样共 160种涂法 由分类计数原理知共有涂法12060180(种),变式3.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种(以数字作答) 解析： 答案：42,1. 弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成，还是多步完成利用分步计数原理要注意各步方法之间相互依存、互不影响；而使用分类计数原理主要是 遵循“不重、不漏”的原则 2分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程，如例2也可利用 分类计数原理 3本节提供的具体模型有： (1)各取一个与任取一

9、个问题； (2)排数问题(注意有重复数字和没有重复数字的区别)； (3)涂色问题等.,【方法规律】,(本题满分5分)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有() A10种B24种C36种D52种,【考卷实录】,解析：在编号为1和2的两个盒子里，分别可放1,3个或2,2个小球 由分类计数原理不同的放球方法的种数是 10. 答案：A,【答题模板】,【分析点评】,1分类计数原理、分步计数原理是解决排列组合和概率问题的基础，贯穿始终，高考考查两个原理比如着色问题，取放球等问题，而考查其他问题也是与两个原理密切相关的 2本题主要是利用分类计数原理考查分类讨论的思想方法，而对特定的情况分步计数原理可以简化分类计数原理的过程 3考卷实录中提供的解答看似合理，如果按算法得出的24种结果全部列出，不难发现出现了“大面积”的重复现象，解题错因是由于先放和后放造成一个盒中不同的球产生顺序，从而导致重复，