高考数学理一轮总复习课件第四章平面向量

1、第四章 平面向量,41平面向量的概念及其线性运算 最新考纲1. 了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线 的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义,1向量的有关概念 (1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 _(或称_) (2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的，零向量 记作_ (3)单位向量：长度等于_个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或_的_向量；平行向量又叫_ 向量规定：0与任一向量_,大小,方向,长度,长度为0,

2、模,任意,0,1,相反,非零,共线,平行,(5)相等向量：长度_且方向_的向量 (6)相反向量：长度_且方向_的向量 【思考探究】两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？,2向量的线性运算,相等,相同,相等,相反,提示：平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线（或线段）平行的 意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以 相同.,3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得_,1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与 a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中， 假命题的个数是()

3、A0 B1 C2 D3,ba,2如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段 OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列等式错误的是(),探究点一平面向量的有关概念,给出下列命题： 若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，b c，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab. 其中正确命题的序号是_,解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确ABDC，|AB|DC|且ABDC， 又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之， 若四边形ABCD为平行四边形

4、，则ABDC且|AB|DC|，因此，ABDC. 故“ABDC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长 度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac. 不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a| |b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是. 答案：,总结反思：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把 它与函数图象的移动混为一谈 (4)非零

5、向量a与 的关系： 是a方向上的单位向量,【变式训练】 1.(1)下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线； 如果ab，bc，那么ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 (2)已知平面内一点P及ABC，若PAPBPCAB，则点P与ABC的 位置关系是() A点P在线段AB上 B点P在线段BC上 C点P在线段AC上 D点P在ABC外部,解析：(1)不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有 向线段也不是向量； 不正确，若a与b中有一个为零向量，零

6、向量的方向是不确定的，故两向 量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 不正确，如果b0，则a与c不一定平行； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数， 可以比较大小 (2)由PAPBPCAB得PAPCABPBAP， 即PCAPPA2AP，所以点P在线段AC上，选C.,答案：(1)(2)C,探究点二平面向量的线性运算,总结反思：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题 时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法 则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的 终点重合，和向量由第一个向量的起

7、点指向第二个向量的终点；向量减法 的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重 合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要 素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同,【变式训练】 2.(1)(2015烟台模拟)若O是ABC所在平面内一点，D 为BC边的中点，且2OAOBOC0，那么() A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD,(2)如图，在平行四边形OADB中，设OAa，OBb，BM BC，CN CD. 试用a，b表示OM，ON及MN.,探究点三共线向量定理的应用,总结反思：(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共

8、线时，通常只有非 零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思 想 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线,【变式训练】 3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t 为何值时，a，tb， (ab)三向量的终点在同一条直线上？,1共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方 向相反且模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等 向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 2两个向量的和仍是向量特别注意的是：在向量加法的表达

9、式中零向量 一定要写成0，而不应写成0；在ABC中，ABBCCA0. 3当两个向量不共线时，这两个向量的差可用平行四边形法则及三角形 法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们 的起点重合的那条对角线(AC)，而差向量是另一条对角线(DB)，方向是从,减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相 重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 4共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线 平行问题但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合 的情况要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等 式ba，再结合条件或图形

10、有无公共点证明几何位置.,方程思想在平面向量的线性运算中的应用,思维提升：本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂， 有一定的难度难点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解 本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征向量是 一个几何量，是有“形”的量，因此在解决与向量有关问题时，多数习题 要结合图形进行分析、判断数形结合找出等量关系列方程是向量加、减 法运算的核心，这是研究平面向量最重要的方法与技巧,友情提示每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认 真对待它们吧！进入“课时达标4.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容 以活页形式分册装订！,

11、课 时 作 业4.1,课时作业4.1,4.2平面向量基本定理及向量的坐标运算 最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件,非零,0180,0或180,90,【思考探究】1.如图,ABC中，AC与AB的夹角与CA与AB的夹角是否相同？,提示：不相同，它们互补，AC与AB的夹角为CAB，而CA与AB的夹 角为CAB.,有且只有,不共线,基底,互相垂直,(x,y),(x,y),x,y,终点A,(x,y),答案：1A2.C3.C4.5.m,探究点一平面向量的基本定理,如图，已知AB

12、C的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且 ADDBBEEC21，AE与CD交于P.设存在和使AP AE，PDCD，ABa，BCb. (1) 求及； (2) 用a、b表示BP； (3) 求PAC的面积,总结反思：(1)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任 意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同 (2)对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两 个表示式的关系，来反映a与b的关系 (3)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形 法则进行向量的加减运算或进行数乘运算,【变式训练】 1.如图，两块斜边长相等的直角三

13、角板拼在一起若AD xAByAC，则x_，y_,探究点二向量的正交分解与坐标运算,已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，设ABa，BCb， CAc，且CM3c，CN2b. (1)求3ab3c； (2)求满足ambnc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量MN的坐标,解析：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)， 解得 (3)设O为坐标原点，CMOMOC3c， OM3cOC(3，24)(3，4)(0，20)，M的坐标为(0，20) 又CNO

14、NOC2b， ON2bOC(12，6)(3，4)(9，2)， N的坐标为(9，2)，MN(90，220)(9，18),总结反思：(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若 已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意 方程思想的运用 (2)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量 的坐标，再用待定系数法求出系数,【变式训练】 2.(2015盐城模拟)已知a，b是两个不共线的非零向量 (1)设OAa，OBtb(tR)，OC (ab)，当A，B，C三点共线时， 求t的值； (2)如图，若aOD，bOE，a与b夹角为120，|a|b|1，点P

15、是以O为圆心的圆弧DE上一动点，设OPxODyOE(x，yR)，求 xy的最大值,探究点三平面向量共线的坐标表示,平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1) (1)求满足ambnc的实数m，n； (2)若(akc)(2ba)，求实数k； (3)若manb与a2b共线，求 的值,【变式训练】 3.(1)已知向量a（8， ），b(x，1)，其中x0，若 (a2b)(2ab)，则x的值为_ (2)已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若A、 B、C三点不能构成三角形，则实数k_,如何正确认识向量坐标与点坐标的关系 平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点A

16、的位置被a所唯一确 定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y) 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y) 向量OA 点A(x，y)要把点的坐标与向量的坐标区分 开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能 认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1，2)，B(3，4)，则AB(2，2).,一一对应,一一对应,运用解析法求向量中的范围、最值问题,思维提升：本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然 后用三角函数的知识求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比 较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征， 为用代数的方法研究

17、向量问题奠定了基础,【跟踪体验】 已知|a|b|2，ab，若向量c满足|cab|2，求|c| 的取值范围,友情提示每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认 真对待它们吧！进入“课时达标4.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容 以活页形式分册装订！,课时作业4.2,4.3平面向量的数量积 最新考纲1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系,1平面向量数量积的意义 (1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b

18、|cos 叫做a与b 的数量积，记做ab，即ab_规定0a0.当ab时， 90，这时ab_ (2)ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的_ 【思考探究】1.b在a上的投影是向量吗？,|a|b|cos,0,投影|b|cos的乘积,提示：不是，b在a上的投影是一个数量|b|cos ，它可以为正，可 以为负，也可以为0.,2向量数量积的性质 (1)如果e是单位向量，则aeea_ (2)ab_且ab0_ (3)aa_，|a| . (4)cosa，b_ (5)|ab|_|a|b|. 3数量积的运算律 (1)交换律ab_ (2)分配律(ab)c_,|a|cosa，e,ab0,ab,|a|

19、2,ba,acbc,(3)对R，(ab)_ 【思考探究】2.数量积的运算满足结合律吗？ 提示：数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)不成立这是由 于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，因此 (ab)c与a(bc)一般是不相等的,4数量积的坐标运算 设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 (1)ab_ (2)ab_ (3)|a|_ (4)cosa，b_,(a)b,a(b),a1b1a2b2,a1b1a2b20,探究点一平面向量数量积的概念与运算,(1)(2015荆州高三质检)在ABC中，AB2，AC4，若点P为 ABC的外心，则APBC的值为_ (2

20、) (2015昆明高三调研)已知向量a，b的夹角为120，且|a|1， |b|2，则向量ab在向量ab方向上的投影是_ (3)(2015石家庄质量检测)在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为 BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则AEAF的最大值 为_,总结反思：平面向量数量积的结果是一个实数，求两个平面向量的数量积 可以有如下两种方法：一是利用定义ab|a|b|cos 来计算；二是利用 公式abx1x2y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选 择，同时要注意数量积运算律的应用,【变式训练】 1.(1)(2014江苏卷)如图所示，在平行四边形ABCD中，已 知AB8，AD5

21、，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是_,设点F为(x，2)，则由ABAF ，得x ，x1. BF(1 ，2)，AEBF (1 )2 . 方法二ABAFAB(ADDF) ABADABDF |DF| |DF|1， |CF| 1. AEBF(ABBE)(BCCF) ABBCABCFBEBCBECF 0 ( 1)120 .,(3)方法一如图，DECB(DAAE)CBDACBAECBDA21， DEDC(DAAE)DCDADCAEDCAEDC|AE|DC|DC|21. 方法二以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设E(

22、t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)， 所以DECB(t，1)(0，1)1. 因为DC(1，0)，所以DEDC(t，1)(1，0)t1， 故DEDC的最大值为1.,探究点二求平面向量的夹角与模,(1)平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则 向量a，b的夹角为_ (2)已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，|AC|2.若AP ABAC，且APBC，则实数的值为_ (3)已知点G是ABC的重心，BAC120，ABCA2，则 |ABAGAC|的最小值为_,【变式训练】 2.(1)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角， 则的取值范围是_

23、 (2)(2015潍坊模拟)在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3， AB，AC60，则|OA|_ (3)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1， P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为_,所以AO2 (ABAC)2 (AB22ABACAC2)， 即AO2 (139) ，所以|OA| .,(3)方法一以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所 示的平面直角坐标系，设DCa，DPx， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x) PA(2，x)，PB(1，ax)， PA3PB(5，3a4x)， |PA3PB|225(3a4

24、x)225，当x4(3a)时取等号 |PA3PB|的最小值为5.,探究点三平面向量的应用,如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且AOOC，BO OD.又以DC边的中点P为圆心，以DP的长为半径作圆P. (1)证明四边形ABCD是平行四边形； (2)若圆P的一直径MN的两端点在该圆周上滑动，问当直线MN在什么 位置时，AMBN取得最大值,解析：(1)证明：依题意，ADAOODOCBOBC， 即AD BC，四边形ABCD是平行四边形 (2)由已知AMADDM，BNBCCN， 又DC、MN是圆的两条直径，DMCN且ADBC， AMBN(ADDM)(BCCN)(BCCN)(BCCN)BC2

25、CN2 |BC|2|CN|2， 由于|BC|为定值，不妨设为a，则AMBNa2|CN|2， 当且仅当C点与N点重合时，(AMBN)maxa2.,总结反思：由于平面向量概念和运算的几何意义，平面向量在解决几何 问题中有着较广泛的应用，不仅可以用以求一条线段的长度、求两条直 线所成的角，还能帮助完成几何中有关长度、角度等的关系证明问题， 帮助解决几何中的最值探讨问题,【变式训练】 3.如图，在RtABC中，已知BCa.若长为2a的线段PQ 以点A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大？并求出 这个最大值,解析:ABBC，ABAC0， APAQ，BPAPAB，CQAQAC， BPCQ(A

26、PAB)(AQAC) APAQAPACABAQABAC a2AP(ABAC)a2 PQBC a2a2cos ， 故当cos 1，即0(PQ与BC方向相同)时，BPCQ最大，其最大值 为0.,对数量积运算律的理解 (1)当a0时，由ab0不一定推出b0，这是因为对任一个与a垂直的 向量b，都有ab0.当a0时，abac也不一定推出bc，因为由ab ac，得a(bc)0，即a与(bc)垂直也就是向量的数量积运算不满 足消去律 (2)对于实数a、b、c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c与 a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc) 表示一个与a共线

27、的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c与a(bc)不 一定相等,平面向量与线性规划的交汇,(2013北京卷)已知点A(1，1)，B(3，0)，C(2，1)若平面区域D 由所有满足APABAC(12，01)的点P组成，则 D的面积为_,友情提示每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认 真对待它们吧！进入“课时达标4.3”，去收获希望，体验成功！本栏目内容 以活页形式分册装订！,课时作业4.3,4.4平面向量的综合问题 最新考纲1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,1平面向量与三角函数,设向量a，若将其起点平移至原点，得到

28、向量OP，此时点_的坐 标就是向量a的坐标，若设P(x，y)，以原点为顶点，Ox的非负半轴为始边， OP为终边的一个角为，则P点到原点的距离为_ ，此时P点的坐标为_，从而aOP(rcos ，rsin ) 这一表达式帮助建立了平面向量与三角函数之间的联系 【思考探究】平面向量与三角函数的这种联系的意义何在？,(rcos，rsin),P,提示：使得可以将平面向量知识与三角函数知识相综合命题， 使得可以以平面向量为工具来研究三角函数的性质,2平面向量的数量积与三角函数 设a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a，b， 则cos _cos cos sin sin _； 此时，abcos()0_； ab_,ab,cos(),sin()0,k(kZ),探究点一平面向量与三角函数的计算,总结反思：以平面向量为载体，进行三角函数计算求解这一类问题时， 除了正确运用平面向量的运算(如线性运算或数量积计算等)外，还需要灵 活运用好三角函数中的有关公式,探究点二平面向量与解三角形,总结反思：解决此类题型的关键是熟练记忆各公式及定义，重点要区分以 三角形边为向量的夹角是三角