2019版高考数学复习第十四章平面解析几何初步14.2圆的方程课件.pptx

1、14.2圆的方程,高考数学,1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是 圆心,定长就是半径. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程; (2)特别地,以原点为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2. 3.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为+=.,知识清单,(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程表示点; (3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形. (4)圆的标准方程的优点在于明确地指出了

2、圆心和半径,而一般方程突出了方程形式的特点: (i)x2和y2系数相等且不为0.,(ii)没有xy这样的二次项. (5)A=C0且B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要不充分 条件. 4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在圆内. 拓展延伸 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定

3、其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用 圆的性质.,2.解答圆的问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质简化运算. 3.求圆的方程时,一般考虑待定系数法.如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算量.如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题.,求圆的方程的方法 1.选择方程形式的原则 求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程. 2.求圆的方程的方法和步骤 求圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,

4、设出圆的标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,方法技巧,3.在求圆的方程时,常用到的圆的几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的垂直平分线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 例1根据下列条件,求圆的方程. (1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6; (2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).,解析(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将P、Q两点的坐标分别代入

5、得 2D-4E-F=20, 3D-E+F=-10. 令y=0,得x2+Dx+F=0. 设x1,x2是方程的两根, 由|x1-x2|=6得D2-4F=36, 由解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0. (2)解法一:设圆心坐标为M(x0,-4x0),依题意得MPl,所以=1, x0=1,所以圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 解法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 根据已知条件得 解得 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)

6、2=8.,与圆有关的最值问题的求解方法 1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合求解. 2.常见的最值问题有以下几种类型:(1)形如=的最值问题,可转化 为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 例2已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3). (1)求MQ的最大值和最小值; (2)若M(m,n),求的最大值和最小值.,解析(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2. 又QC=4, 所以MQmax=4+2=6, MQmin=4-2=2. (2