变形体静力学及应用于弹性体

1、1,第五章 静力学基本原理与方法应用于弹性体,2,物理：运动的一般规律（质点） 质点：只有质量，没有大小 静力学：运动的一般规律（刚体） 刚体：有质量，有大小，但没有变形（相对位置不变） 材料力学：在外力作用下，一切固体都将发生变形（变形固体） 变形固体：有质量，有大小，有变形（相对位置变化）,3,前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。 事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。 属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究： 1) 力和平衡条件的研究。 2) 变形几何协调条件的研究。 3) 力与变形之关系的研究

2、。 先以一个例子说明方法。,第五章 变形体静力学基础,5.1 变形固体的力学分析方法,4,5,6,7,物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体，内力才能显示。,内力分布在截面上。利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，内力一般可表示为六个，由平衡方程确定。表示如图：,处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。,1.内力:,沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有三个反力、三个反力偶)。,5.2 内力,8,若外力在同一平面内，截面内力只有

3、三个分量，即:,轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FS 作用于截面切向。 弯矩 M 使物体发生弯曲。,若外力在轴线上,内力只有轴力。,9,5.3 截面法,无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内力。因为，二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。,用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为：,求约束反力,注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。,10,例1 求图中1、2、3截面内力。,解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2,截面2

4、：FN2=FACcos45=F；FS2=FACsin45=F M2=FACcos45x=Fx,截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2； M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2,11,例2 作图示拉压杆的内力图。,2）求各截面内力(轴力)。 截面法、平衡方程,3）画内力图。,解：1）求约束反力。 FA=8+2-5=5 kN,12,例3 截面积为A的等直杆，单位体积重量为，求 杆在自重作用下的内力。,解：考虑任一距O点为x的横截面 上的内力，受力如图。 重力为W=Ax, 由平衡方程得： FN=W=Ax,绘出轴力图，可见： A截面处内力F N(=AL)最大。,13,作用

5、在杆件上的载荷和约束力通称为“外力”。 杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻各部分相对位置发生变化，从而产生附加内力。把在外力的作用下构件一部分对另一部分的作用力，称为“内力”。 杆件的内力随着外力的增加而增加，对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过一定的限度，杆件将发生失效。,讨论1 如何区分外力和内力的概念？,问 题 讨 论,14,3. 柱截面 内力？,2. 截面1 内力？,4. 作内力图。,返回主目录,15,用 截面法 求内力可归纳为四个字： 1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分 2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分 3）代：用作用于截面上的内力

6、，代替弃去部分对留下部分的作用力 4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力,5.4 内力图,5-4-1 轴力图 N (x) 的图象表示,意义,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。,例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3PN3= 5P N4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,轴力图的特

7、点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为：,q,q L,x,O,例 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。,L,q(x),q(x),N,x,O,21,一、内力的直接求法 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，内力计算式如下，其中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。,5-4-2 剪力图和弯矩图,22,二、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）,q(x),（

8、1）微分关系,（2）增量关系,（3）积分关系,由d Q = qd x,由d M = Qd x,水平杆件下侧 受拉为正； 竖向杆件右侧 受拉为正。,23,几种典型弯矩图和剪力图,1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载向下突变亦向下。,2、集中力矩作用点 M图有一突变，力矩为顺时针向下突变； Q 图没有变化。,3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜,24,三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载

9、荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,例 绘制下列图示梁的弯矩图。,=,+,=,+,2Pa,2Pa,Pa,(1),(2),q,q,q,q,=,+,=,+,3qa2/2,qa2/2,qa2,(3),PL/2,=,+,=,+,PL/2,PL/4,PL/2,PL/2,(4),50kN,20kNm,=,+,=,+,20kNm,50kNm,20kNm,20kNm,20kNm,20kNm,30kNm,20kNm,29,五、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,

10、曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,30,内力图练习题,练习题1、已知剪力图求外力图及M图（无集中力偶作用）,AC：Q水平 q=0 M/,CD:,DB:,练习2、已知M图求剪力图和外力图,Q图：AC：,CD:,DB:,外力图：,AC:,CD:,DB:D处M突变外力偶,36,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,刚结点：弯曲变形时与该结点连接的各杆间夹角不变 刚架：若干杆由刚节点连接而成的结构,例：C结

11、点为刚结点,5-5 刚架,38,分段：根据荷载不连续点、结点分段。 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标，号；竖标大致成比例。,刚架的内力分析及内力图的绘制,例 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,40,例、 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。,(1)支座反力,(a),(b),(c),解,。,(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。,40,160,41

12、,160,40,80,20,60,Q图（kN),M图 (kNm）,M图,80,42,20,N图（kN),43,1、弄清基本概念思考再思考，观察生活实例 适当读参考书 认真做好实验 2、注意知识发生过程公式推导：基本假设 基本思路 基本要点 3、认真完成作业理解、体验，举一反三 培养解决问题的能力 4、养成写总结和体会的习惯,学 习 方 法,44,弹性体应力状态分析,内容简介 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。,45,体力和面力,体力与面力 体力矢量用Fb表示，其沿三个坐标轴的分量用Fbi

13、（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，称为体力分量。 面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。,46,所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。 为了表明物体在xyz 坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素V，如图所示,47,设V 的体力合力为F，则P点的体力定义为 令微小体积元素V 趋近于0，则可以定义一点P的体力为 一

14、般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。,48,面力,类似于体力，可以给出面力的定义。 对于物体表面上的任一点P，在P 点的邻域取一包含P点的微小面积元素 S，如图所示,49,设S 上作用的面力合力为 F，则P 点的面力定义为,面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。 面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。 弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力,50,应力与应力状态,1、应力矢量 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体

15、内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元S，如图所示,51,可认为微面积上的内力主矢F的分布是均匀的。设S 的法线方向为n，则定义 上式中pn为微面积S 上的平均应力。如果令S 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得,52,2、应力矢量的分解 力矢量的一种分解方法是将应力矢量pn在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用px, py, pz表示其分量，则 pn=px i + py j+ pz k，这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。,53,另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量 p