高考数学理人教大一轮复习讲义课件第八章立体几何与空间向量8.8

1、8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,1.两条异面直线所成角的求法,知识梳理,设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为 ，a与n的夹角为，则sin |cos |.,2.直线与平面所成角的求法,3.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小.,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

2、,|cosn1，n2|,利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB| . (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为 .,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.() (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(),(5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.(),1.(2017烟台质检)已知两平面

3、的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 A.45 B.135 C.45或135 D.90,考点自测,答案,解析,即m，n45. 两平面所成的二面角为45或18045135.,2.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为 A.30 B.60 C.120 D.150,答案,解析,090，30.故选A.,3.(2016郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为,答案,解析,设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1

4、(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 (2,2,1)， (0,2，1)，由向量的夹角公式得cos ，故选A.,4.(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1 与侧面ABB1A1所成的角为_.,答案,解析,C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，,5.P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_.,答案,解析,90,不妨设PMa，PNb，如图， 作MEAB于E，NFAB于F， EPMFPN45，,二面角AB的大小为90.,题型分类深度剖析,题型一求

5、异面直线所成的角,例1(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC；,证明,如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB1. 由ABC120，可得AGGC . 由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC. 又AEEC，所以EG ，且EGAC.,在直角梯形BDFE中，由BD2，BE ，DF ，可得EF ，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.,又ACFGG，可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC，所以平面AE

6、C平面AFC.,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,解答,所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 .,思维升华,用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.,跟踪训练1 如图所示正方体ABCDABCD，已知点H在ABCD的对角线BD上，HDA60.求DH与CC所成的角的大小.,解答,如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系Dxyz，,即DH与CC所成的角为45

7、.,题型二求直线与平面所成的角,例2(2016全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB；,证明,取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TN BC2.,又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,解答,取BC的中点E，连接AE. 由ABAC得AEBC，,以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Ax

8、yz. 由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，,设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则,思维升华,利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,跟踪训练2 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示. (1)求证：ABCD；,证明,平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD. 又CD平

9、面BCD，ABCD.,(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.,解答,过点B在平面BCD内作BEBD，如图. 由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD. ABBE，ABBD. 以B为坐标原点， 分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.,依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0， )，,设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，,取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1,1). 设直线AD与平面MBC所成角为，,题型三求二面角,例3(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直

10、径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线. (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；,证明,设FC的中点为I，连接GI，HI， 在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF. 又EFOB，所以GIOB. 在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII， 所以平面GHI平面ABC. 因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.,解答,连接OO，则OO平面ABC.又ABBC， 且AC是圆O的直径，所以BOAC. 以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.,设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.,因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，

11、,思维升华,利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,跟踪训练3 (2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面ADF；,证明,依题意，OF平面ABCD， 如图，以O为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建

12、立空间直角坐标系，依题意可得,O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)， D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0).,设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，,(2)求二面角OEFC的正弦值；,解答,易证 (1,1,0)为平面OEF的一个法向量， 依题意， (1,1,0)， (1,1,2).,设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，,不妨取 x21，可得n2(1，1,1).,解答,题型四求空间距离(供选用),例4如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求点A到平面MB

13、C的距离.,解答,如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，,设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，,思维升华,求点面距一般有以下三种方法： (1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)等体积法； (3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.,跟踪训练4 (2016四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面

14、PAD底面ABCD，侧棱PAPD ，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点. (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；,解答,在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD. 又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO平面PAD， PO平面ABCD. 在PAD中，PAPD，PAPD ，AD2.,在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，ABAD， OCAD.,以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (

15、1，1，1). 易证OA平面POC， (0，1,0)为平面POC的法向量，,(2)求B点到平面PCD的距离；,解答, (1，1，1)， 设平面PCD的法向量为u(x，y，z)，,取z1，得u(1,1,1).,解答,Q(0，1). 设平面CAQ的法向量为m(x，y，z)，,取z1，得m(1，1，1). 平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，,整理化简，得321030.,典例(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点. (1)证明：BEDC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足

16、BFAC，求二面角FABP的余弦值.,利用空间向量求解空间角,答题模板系列6,规范解答,答题模板,(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 1分 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).,设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，,可得n(2,1,1).,因此，2(12)2(22)0，解得 ，,设n1(x，y，z)为平面FAB的一个法向量，,不妨令z1，可得n1(0，3,1). 取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，,易知，二面角FABP是锐角，,返回,利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐

17、标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值) ； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,返回,课时作业,1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于 A.120 B.60 C.30 D.60或30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为. 则sin |cos |cos 120| . 又0，90，30，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

18、11,12,2.(2016广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，则该二面角的大小为 A.150 B.45 C.60 D.120,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为,答案,解析,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，,设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2016长春模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为,答案,解析,以A为原