高考数学理人教大一轮复习讲义课件第九章平面解析几何9.7

1、9.7抛物线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,知识梳理,焦点,相等,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|x0 ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2ax的焦点坐标为 ，准线方程为x . 3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦长|AB|x1x2p

2、(为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.() (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x .() (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.() (4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.(),考点自测,A.(0,2

3、) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0),答案,解析,1.(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是,对于抛物线y2ax，其焦点坐标为 ， 对于y24x，焦点坐标为(1,0).,A.9 B.8 C.7 D.6,答案,解析,2.(2016甘肃张掖一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于,3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24

4、k24k264(1k2)0， 解得1k1.,答案,解析,A. B.2,2 C.1,1 D.4,4,几何画板展示,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,答案,解析,y28x或x2y,5.(2017合肥调研)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.,2,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一抛物线的定义及应用,例1设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.

5、,答案,解析,4,如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为4.,几何画板展示,引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. |PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d

6、1|PF|1， 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 所以d1d2的最小值为3 1.,几何画板展示,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,思维升华,跟踪训练1设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.,答案,解析,如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P 到F的距离.于是，问题

7、转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 .,几何画板展示,题型二抛物线的标准方程和几何性质,命题点1求抛物线的标准方程 例2已知双曲线C1： (a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为,C.x28y D.x216y,答案,解析,命题点2抛物线的几何性质 例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2 ；,

8、证明,证明,证明,(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,跟踪训练2(1)(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4 ，|DE|2 ，则C的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8,答案,解析,(2)(2016

9、昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 的最大值为,答案,解析,A. B.1 C. D.2,设|AF|a，|BF|b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P， 由抛物线的定义知，|AF|AQ|，|BF|BP|，,在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab.,|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.,题型三直线与抛物线的综合问题,命题点1直线与抛物线的交点问题 例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于

10、A、B两点.若 0，则k_.,答案,解析,2,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题 例5(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；,证明,几何画板展示,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解答,几何画板展示,设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)， 所以x11，x10(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y).,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

11、(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,思维升华,跟踪训练3(2017北京东城区质检)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF| |PQ|. (1)求C的方程；,解答,设Q(x0,4)，代入y22px，得x0 . 所以|PQ| ，|QF| x0 . 由题设得 ， 解得p2(

12、舍去)或p2.所以C的方程为y24x.,(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.,解答,典例(12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标；,答案模板系列7,(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；,(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,答题模板,思维点拨,直线与圆锥曲线问题的求解策略,规

13、范解答,返回,返回,课时作业,1.(2017昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果 12，那么抛物线C的方程为 A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A.x1 B.x1 C.x2

14、D.x2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016上饶四校联考)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为 A.y24x或y28x B.y22x或y28x C.y24x或y216x D.y22x或y216x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，

15、y2)，则 的值一定等于 A.4 B.4 C.p2 D.p2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若焦点弦ABx轴， 则x1x2 ，x1x2 ； y1p，y2p，y1y2p2， 4. 若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为yk(x )， 联立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0，,5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答

16、案,解析,A.y29xB.y26xC.y23xD.y2 x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1， 由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|， |BC|2|BF|， |BC|2|BB1|，BCB130，AFx60， 连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1， 则F1为AA1的中点，设l交x轴于K， 则|KF|A1F1| |AA1| |AF|，即p ， 抛物线方程为y23x.故选C.,6.抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A (1,0)，则 的最小值是,答案,解

17、析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,12,方法二由抛物线焦点弦的性质可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若 ，则p_.,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,2,如图，由AB的斜率为 ， 知60，又 ， M为AB的中点. 过点B作BP垂直准线l于点P， 则ABP60，BAP30， |BP| |AB|BM|. M为焦点，即 1，p2.,答案,解析,9.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0