《现代控制理论第3版》-第6章

1、6.1 概述,6.2 研究最优控制的前提条件,6.1 3 线性二次型次优控制问 题,6.12 线性二次型最优控制问 题,6.3 静态最优化问题的解,6.10 双积分系统的时间最优 控制,6.11 动态规划法,6.9 Bang-Bang控制,6.8 极小值原理,6.4 离散时间系统的最优控,6.5 离散时间系统最优控制的 离散化处理,6.7 用变分法求解连续系统最 优控制问题-有约束条件 的泛函极值,6.6 泛函及其极值-变分法,61 概述,所谓最优化，原非新鲜概念，人们在从事某项工作时，总是想着采取 最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。,求解动态最优化问题的方法主要

2、有古典变分法，极小(大)值原理及动态 规划法等。,动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没 有随机变量，系统的参数都是确定的。本书只讨论确定性最优控制问题。,6.2 研究最优控制的前提条件,在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是：,1.给出受控系统的动态描述，即状态方程,2.明确控制作用域,在工程实际问题中，控制矢量 往往不能在 空间中任意取值， 而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任 意大。即 要满足某些约束条件，这时，在 空间中，把所有满足 上式的点 的集合，记作：,（7）,这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：,(8),的

3、 称为容许控制。,3明确初始条件,通常，最优控制系统的初始时刻 是给定的。如果初始状态 称固 定始端。如果 是任意的，则称自由始端。如果 必须满足某些约束 条件：,相应的始端集为：,此时， 则称为可变始端。,4明确终端条件,类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 和终端状态 都是给定的。,自由端则是在给定 情况下， 可以任意取值不受限制。可变终端 则是指 的情况。其中,是由约束条件 所形成的一个目标集。,5给出目标泛函，即性能指标,对连续时间系统，一般表示为：,对离散时间系统，一般表示为：,上述形式的性能指标，称为综合型或鲍尔扎型。它由两部分组成，等 式右边第一项反映对终端性能的要求，例如对目标

4、的允许偏差、脱靶情况等， 称为终端指标函数；第二项中L为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料 消耗的要求等，称为动态指标函数。,若不考虑终端指标函数项 则有：,这种形式的性能指标称为积分型或拉格朗日型。若不考虑动态指标函数 项， 则形如：,称为终端型或梅耶型。,6.3 静态最优化问题的解,静态最优化问题的目标函数是一个多元普通函数，其最优解可以通过古 典微分法对普通函数求极值的途径解决。动态最优化问题的目标函数是一个 泛函数，确定其最优解要涉及古典变分法求泛函极值的问题。,6.3.1 一元函数的极值,设 为定义在闭区间 上的实值连续可做函数，则存在极值 点 的必要条件是：,（21）,为极小值点

5、充要条件是：,为极大值点充要条件是：,因为 的极小值和 的极大值等效，所以今后所有推导和 结论，均以圾小化为准。,6.3.2 多元函数的极值,设 元函数 这里 为 维列向量。它取 极值的必要条件是：,至于取极小值的充要条件，尚需满足：,或函数的梯度为零矢量。,即下列海赛矩阵为正定矩阵。,6.3.3 具有等式约束条件的极值,上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。对于具有等式约束条件的 极值问题，则要通过等效变换，化为无约束条件的极值问题来求解。,设罐头桶的几何尺寸：高为 半径为 则容积为：,（29）,给定铁皮面积A=常量。要使罐头桶容积为最大，必然要受条件：,（30）,的约束：,解此类问题的方

6、法有多种，如嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法(增元法)等。,1.嵌入法,先从约束条件式(30) 解出一个变量，例如 等，然后代入目标函 数式(29)得：,(31),这样就变成一个没有约束条件的函数式。显然，式(31)取极值的条件为：,可解出极值点：,又因为 故上述极值点为极大值点。罐头桶的最大容 积为：,2.拉格朗日乘子法,6.4 离散时间系统的最优控,6.4.1 基本形式,6.4.2 具有二次型性能指标的线性系统,65 离散时间系统最优控制的离散化处理,式中， 为终端代价函数，假定 是自由终端。,最优控制问题是在式(73)约束条件下，寻求 使式(74)为最小。,6.6 泛函及其极值变分法,6

7、.6.1 变分法的基本概念,1泛函,变分法是研究泛函极值问题的数学工具。什么叫泛函呢?通俗地说，泛 函就是函数的函数。它是普通函数概念的一种扩充。,2.泛函的极值,3.泛函的变分,4泛函极值定理,6.6.2 泛函极值的必要条件欧拉方程,求泛函,6.6.3 多元泛函的极值条件,6.6.4 可变端点问题,6.6.5 具有综合型性能泛函的情况,67 用变分法求解连续系统最优控制问题有约束条件的 泛函极值,6.7.1 拉格朗日问题,6.7.2 波尔札问题,6.8 极小值原理,定理6.8.1 设系统状态方程为：,始端条件为：,（1）,取哈密顿函数为：,（5）,则实现最优控制的必要条件是，最优控制 、最优

8、轨线 和最优协 态矢量 满足下列关系式：,1)沿最优轨线满足正则方程,2)在最优轨线上，与最优控制 相应的H 函数取绝对极小值，即,3)H函数在最优轨线终点处的值决定于：,（11）,这就是著名的极小值原理。,4)协态终值满足横截条件：,（12）,6.9 Bang-Bang控制,定理69l 线性定常系统=(A，B，C)，若存在时间最优 控制，则该控制 是惟一的。,令 作用下，系统在 时 刻也将初值 转移到原点 。即,所以w也是最小时间控制，根据前面的结论， 都是BangBang控制，又 不相等的时刻上，有 不是BangBang控制，与w()是最优控制矛盾，因此有：,这表明控制 是惟一的。,6.1

9、0 双积分系统的时间最优控制,设双积分系统的状态方程为：,求最优控制 ,把系统从仞态转移到终态，使 为极小。,6.10.l 根据极小值原理确定最优控制,列出哈尔密顿函数,为使H全局最小呵得最优控制：,在 是一直线，其四种可能形状以及与之 相应的 ，如下图所示。,解得：,故,即,显而易见，可供选择的最优控制序列有下列四种：,切换次数至多一次。切换时刻为：,6.10.2 状态轨线及开关曲线,6.10.3 最优控制律,为了使系统的状态能以最小时间从初态 转移到终态(0，0)。当初态所划位置不同时，应当采取的控制规律不同。但是，凡不在开关曲线上的点，至少要经过一次切换，转到开关曲线后才能沿着 +或-到

10、达原点(0，0)。因此，按照初态 所处的位置可得到下列最优控制规律：,若将开关曲线写成：,则最优控制律可表示成：,6.10.4 最优控制律的工程实现,6.10.5 最优时间计算,基本方法是把状态转移轨线按控制序列分成若f段，逐段汁算所需时问然 后求和。下面给出的是从初态 沿最优轨线到轨线与开关曲线交点 的时问，以及从交点沿开关曲线到达原点时间的计算公式在日前情况下，只 要把这两段时间加起来，即为状态转移的最小时间。,6.11 动态规划法,动态规划是贝尔曼(Bellman)在 20世纪 50年代作为多段(步)决策过程 研究出来的，现已在许多技术领域中获得广泛应用。,动态规划的核心是最优性原理。,

11、6.11.1 多段决策问题,6.11.2 离散系统的动态规划,6.11.3 连续系统的动态规划,利用动态规划最优性原理，可以推导出能泛函为极小应满足的条件 哈密尔顿雅可比方程。,即,综上所述，可将连续型动态规划求解最优控制问题的步骤归纳如下：,1)构造哈密尔顿函数：,2),由上述条件解出的 的函数。,3)将 代入哈密尔顿一贝尔曼方程，并根据边界条件，解出,4)将 代回 ，即得最优控制 它是状态变量的函数，据此可实现闭环最优控制。,5)将 代入状态方程，可进一步解出最优轨线,6)再将 代人求得最优性能泛函 。,6.12 线性二次型最优控制问题,6.12.1 二次型性能泛函,二次型性能泛函的一般形

12、式如下：,6.12.2 有限时间状态调节器问题,状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时， 能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。在 研究这类问题时，通常是把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取作平衡状 态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间 内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。,6.12.3 无限时间状态调节器问题,对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点：,1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节 器中则不强调这一点。,2)在性能泛函中，由于 ，而使终端泛函 失 去了意义，

13、即,3)与有限时间状态调节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈，结构 图也与前面的相同。但是，这里的P 是nn 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩 阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。,4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具 负实部，而不论原受控系统A的特征值如何。,6.12.4 输出调节器问题,1.输出调节器的任务是当系统受到外扰时，在不消耗过多能量的前提下， 维持系统的输出矢量接近其平衡状态。,1.线性时变系统输出调节器问题,给定一个能观的线性时变系统：,性能泛函为：,于是可以用状态调节器上式来确定最优控制：,式中， 为下列黎卡提距阵微分方程的解：,边界条件：,给定一

14、个完全能控、能观的线性定常系统：,2. 线性定常系统输出调节器问题,性能泛函为：,式中， 任意取值； 为正定对称矩阵； 为正定或半正定矩阵。,要求在系统方程约束下，寻求,最优控制为：,而 是下列黎卡提代数微分方程的解：,6.12.5 跟踪器问题,1.线性时变系统跟踪器问题,2.线性定常系统,6.1 3 线性二次型次优控制问题,没完全能控、能观系统的动态方程为：,性能指标为二次型：,式中， 为正定(或半正定)对称阵； 为正定对称阵。,如上所述，设控制变量 是由输出变量 的线性负反馈所构 成，即,闭环系统结构图示如下图所示：,从图可得闭环系统的状态方程：,（1）,式中， 为闭环系统的状态矩阵。,式中,在规定了系统结构的情况下，设计任务就是确定输出反馈矩阵K，使性 能指标式(2)取极值。,对渐近稳定系统式(1)，