计算机控制系统第十二章.ppt

1、12.1 引言 本章研究以输入输出模型为基础的最优设计方法，讨论基于线性模型和二次型性能准则的调节器设计。,第12章 最优设计方法：多项式方法,12.2 问题的表达形式,过程动力学表征为： 系统的输出为： 其中，扰动v可表示为白噪声加到一个线性系统上所产生的 输出，即： C1(q)和A2(q)为正相平移算子多项式。,引入下列多项式： 可得到如下模型： A(q)y(k)=B(q)u(k)+C(q)e(k) 当没有控制信号时，此模型是一个具有有理谱密度的随机过程，即ARMA过程。,例12.1 多项式C的修正,多项式：C(z)=z+2 其零点z=-2在单位圆外。考虑信号： n(k)=C(q)e(k)

2、 其中，e(k)是不相关的随机变量序列，其均值为零，方差为1。n的谱密度为： 由于：C(z)C(z-1)=(z+2)(z-1+2)=(1+2z-1)(1+2z) =(2z+1)(2z-1+1)=4(z+0.5)(z-1+0.5) 故信号n也可表示为：n(k)=C*(q)e(k) 其中： C*(z)=2z+1 是多项式C(z)的互反多项式,性能准则：Jmv=Ey2(k) 使上式为最小的控制律称为最小方差控制。 也可把性能准则表示为： 这个性能准则是连续时间损失函数： 的一种近似表示。 使这个性能准则为最小的控制律称为线性二次型控制律。,12.3 最优预报,由下面模型生成的信号y ： 其中，A*和

3、C*是A和C的互反多项式，即A*(q-1)=q-nA(q)， 而q-1是后向平移算子。 K时刻时，用已观测到变量y(k),y(k-1),对y(k+m)进行预测，得,（12.15）,（12.14）,如果多项式C稳定，则e(i)就能由y(i),y(i-1),用下列精确算出： 最优预报器为： 预报误差为：,定理12.1 最优预报器,设y(k)是随机过程，多项式C(z)的全部零点都位于单位圆 内，e(k)是独立的随机变量序列。那么，m步最小方差预 报器为： 其中，多项式F和G分别为用A除qm-1C时的商和余项，即： qm-1C(q)=A(q)F(q)+G(q) （12.17） 预报误差是一个平移平均过

4、程： 其均值为零，方差为：,证：F是次数为m-1的首一多项式，而G的次数小于n。因此：,引入：,式(12.17)同乘,有：,（12.20）,于是可把(12.15)写为：,考虑：,有：,设,为k时刻对k+m时刻的估计,则：,（12.21）,则最小方差估计及估计误差的方差为：,例12.2 预报 考虑由多项式： 定义的系统(12.14)式。其中，e的方差为1。首先确定输出的向前三步预报。等式(12.17)给出： 这给出了三角线性方程组： 因此向前三步预报为： 预报误差的方差为：,C在单位圆上有零点的情况 (12.16)式的预报器是特征多项式C(z)的动力学 系统。C的所有零点都在单位圆内的假设保证了

5、 预报器的定态稳定性。 由谱因子分解得，可以选择C使其零点在单位 圆内或单位圆上。单位圆外的零点被镜像反射到 单位圆内。,例12.4 单位圆上的零点,考虑过程： y(k)=e(k)-e(k-1) (12.22) 在此例中，多项式C(z)=z-1的零点位于单位圆上。用以前的方法，在形式上可给出一步预报器： 想以前做过的那样，设法由y(k),y(k-1),y(k0)算出e(k)，得： 式中出现e(k0-1)这一项，当 时它不趋近于零，这表明了C不稳定带来的后果。然而，可以用卡尔曼滤波理论来确定最优预报器。(12.22)式给出的信号可以写成：,利用11.3节中的符号表示法，有 。 卡尔曼滤波器为：

6、初始条件为： 输出的预报器为： 经过简单的计算得到：,12.4 最小方差控制,具有稳定逆的系统 引入后向平移算子q-1之后就可把模型(12.5)式写成： 其中： 是系统的极点盈数。还有degA=degC=n。引入互反多项式 可使基于因果性的论证更加清晰。,（12.23）,由（12.20）有：,（12.26）,由（12.23）有：,则：,必然有：,，则估计误差的方差为：,则最小方差估计为：,则：,设,设参考输入为：,因此最小方差（跟踪）控制律为：,由于有：,定理12.2 最小方差控制稳定逆,考虑由(12.5)式描述的过程，其中e(k)是独立随机变量序列， 其均值为零，标准差为 。设多项式B和C的

7、全部零点都在单 位圆内，于是最小方差控制律由(12.27)式给出，其中多项式 F*和G*，由m=d的(12.20)式得到。此控制律给出的定态输出为：,例12.6 最小方差控制,考虑(12.5)式所给出的系统，其中： 极点盈数是d=2。qd-1C(q)除以A(q)所得到的商为：F(q)=q+0.8 余项为： G(q)=0.66q2-0.56q 于是最小方差控制律是： 用最优控制器时输出的方差为： Ey2=1+(0.8)2=1.64,定理12.3 最小方差控制一般情形,考虑(12.5)式所描述的系统。把多项式B(z)因式分解为：,其中，B-(z)是首一的。多项式B+(z)的全部零点都位于单位圆内，而B-(z)的全部零点都位于单位圆外或单位圆上。设多项式C(z)的全部零点都位于单位圆内，而且多项式A(z)和B-(z)没有任何公因子。于是最小方差控制律为：,其中，多项式F(z)和G(z)满足丢番图方程：,在上式中，degF=d+degB-1且degGdegA=n。,12.5 线性二次型高斯(LQG)控制,利用状态空间的解可以得到最优解性质的解释。这些性质可以用闭环系统的极点来表示。用这种方法我们可以在LQG设计和极点配置之间建立起一种联系。 谱因子分解 在11.4节中用状态空间方法解出了LQ问题，它导出了一个 定态黎卡提方程。由此黎卡提方程得出： (12.45) 其中，首一多项式P(z