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文档简介
1、12.1 引言 本章研究以输入输出模型为基础的最优设计方法,讨论基于线性模型和二次型性能准则的调节器设计。,第12章 最优设计方法:多项式方法,12.2 问题的表达形式,过程动力学表征为: 系统的输出为: 其中,扰动v可表示为白噪声加到一个线性系统上所产生的 输出,即: C1(q)和A2(q)为正相平移算子多项式。,引入下列多项式: 可得到如下模型: A(q)y(k)=B(q)u(k)+C(q)e(k) 当没有控制信号时,此模型是一个具有有理谱密度的随机过程,即ARMA过程。,例12.1 多项式C的修正,多项式:C(z)=z+2 其零点z=-2在单位圆外。考虑信号: n(k)=C(q)e(k)
2、 其中,e(k)是不相关的随机变量序列,其均值为零,方差为1。n的谱密度为: 由于:C(z)C(z-1)=(z+2)(z-1+2)=(1+2z-1)(1+2z) =(2z+1)(2z-1+1)=4(z+0.5)(z-1+0.5) 故信号n也可表示为:n(k)=C*(q)e(k) 其中: C*(z)=2z+1 是多项式C(z)的互反多项式,性能准则:Jmv=Ey2(k) 使上式为最小的控制律称为最小方差控制。 也可把性能准则表示为: 这个性能准则是连续时间损失函数: 的一种近似表示。 使这个性能准则为最小的控制律称为线性二次型控制律。,12.3 最优预报,由下面模型生成的信号y : 其中,A*和
3、C*是A和C的互反多项式,即A*(q-1)=q-nA(q), 而q-1是后向平移算子。 K时刻时,用已观测到变量y(k),y(k-1),对y(k+m)进行预测,得,(12.15),(12.14),如果多项式C稳定,则e(i)就能由y(i),y(i-1),用下列精确算出: 最优预报器为: 预报误差为:,定理12.1 最优预报器,设y(k)是随机过程,多项式C(z)的全部零点都位于单位圆 内,e(k)是独立的随机变量序列。那么,m步最小方差预 报器为: 其中,多项式F和G分别为用A除qm-1C时的商和余项,即: qm-1C(q)=A(q)F(q)+G(q) (12.17) 预报误差是一个平移平均过
4、程: 其均值为零,方差为:,证:F是次数为m-1的首一多项式,而G的次数小于n。因此:,引入:,式(12.17)同乘,有:,(12.20),于是可把(12.15)写为:,考虑:,有:,设,为k时刻对k+m时刻的估计,则:,(12.21),则最小方差估计及估计误差的方差为:,例12.2 预报 考虑由多项式: 定义的系统(12.14)式。其中,e的方差为1。首先确定输出的向前三步预报。等式(12.17)给出: 这给出了三角线性方程组: 因此向前三步预报为: 预报误差的方差为:,C在单位圆上有零点的情况 (12.16)式的预报器是特征多项式C(z)的动力学 系统。C的所有零点都在单位圆内的假设保证了
5、 预报器的定态稳定性。 由谱因子分解得,可以选择C使其零点在单位 圆内或单位圆上。单位圆外的零点被镜像反射到 单位圆内。,例12.4 单位圆上的零点,考虑过程: y(k)=e(k)-e(k-1) (12.22) 在此例中,多项式C(z)=z-1的零点位于单位圆上。用以前的方法,在形式上可给出一步预报器: 想以前做过的那样,设法由y(k),y(k-1),y(k0)算出e(k),得: 式中出现e(k0-1)这一项,当 时它不趋近于零,这表明了C不稳定带来的后果。然而,可以用卡尔曼滤波理论来确定最优预报器。(12.22)式给出的信号可以写成:,利用11.3节中的符号表示法,有 。 卡尔曼滤波器为:
6、初始条件为: 输出的预报器为: 经过简单的计算得到:,12.4 最小方差控制,具有稳定逆的系统 引入后向平移算子q-1之后就可把模型(12.5)式写成: 其中: 是系统的极点盈数。还有degA=degC=n。引入互反多项式 可使基于因果性的论证更加清晰。,(12.23),由(12.20)有:,(12.26),由(12.23)有:,则:,必然有:,,则估计误差的方差为:,则最小方差估计为:,则:,设,设参考输入为:,因此最小方差(跟踪)控制律为:,由于有:,定理12.2 最小方差控制稳定逆,考虑由(12.5)式描述的过程,其中e(k)是独立随机变量序列, 其均值为零,标准差为 。设多项式B和C的
7、全部零点都在单 位圆内,于是最小方差控制律由(12.27)式给出,其中多项式 F*和G*,由m=d的(12.20)式得到。此控制律给出的定态输出为:,例12.6 最小方差控制,考虑(12.5)式所给出的系统,其中: 极点盈数是d=2。qd-1C(q)除以A(q)所得到的商为:F(q)=q+0.8 余项为: G(q)=0.66q2-0.56q 于是最小方差控制律是: 用最优控制器时输出的方差为: Ey2=1+(0.8)2=1.64,定理12.3 最小方差控制一般情形,考虑(12.5)式所描述的系统。把多项式B(z)因式分解为:,其中,B-(z)是首一的。多项式B+(z)的全部零点都位于单位圆内,而B-(z)的全部零点都位于单位圆外或单位圆上。设多项式C(z)的全部零点都位于单位圆内,而且多项式A(z)和B-(z)没有任何公因子。于是最小方差控制律为:,其中,多项式F(z)和G(z)满足丢番图方程:,在上式中,degF=d+degB-1且degGdegA=n。,12.5 线性二次型高斯(LQG)控制,利用状态空间的解可以得到最优解性质的解释。这些性质可以用闭环系统的极点来表示。用这种方法我们可以在LQG设计和极点配置之间建立起一种联系。 谱因子分解 在11.4节中用状态空间方法解出了LQ问题,它导出了一个 定态黎卡提方程。由此黎卡提方程得出: (12.45) 其中,首一多项式P(z
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