高考数学人教A一轮复习课件64合情推理与演绎推理

1、第四节 合情推理与演绎推理,【知识梳理】 1.合情推理,部分,全部,部分,整体,个别,一般,类似,特征,特征,特征,特殊,特殊,类比,猜想,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下 的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎 推理是由一般到_的推理.,特殊,(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 大前提已知的_; 小前提所研究的_; 结论根据_,对特殊情况作出的判断.,一般原理,特殊情况,一般原理,【特别提醒】 合情推理与演绎推理的关系 (1)合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. (2)合情推理是

2、发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修1-2P30T1改编)已知数列an中,a1=1,n2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是() A.an=3n-1 B.an=4n-3 C.an=n2 D.an=3n-1,【解析】选C.a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.,2.(选修1-2P30T2改编)如图,根据图中的数构成的规律,得a表示的数是() 1 22 343 412124 548a485 A.12 B.48 C.60 D.144,【解析】选D.由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数

3、等于其上一行两肩上的数字的乘积.所以a=1212=144.,感悟考题试一试 3.(2016全国卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是_.,【解析】由题意得:丙不拿(2,3), 若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足, 若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足, 故甲的卡片上的数字为1和3. 答案:1和3,4.(2017邵阳模拟)在平面几何中:ABC的C内角平分线CE分

4、AB所成线段的比为 把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于点E,则得到类比的结论是_.,【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可 得 答案:,考点一类比推理 【典例1】(1)(2017蚌埠模拟)已知双曲正弦函数shx= 和双曲余弦函数chx= 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_.,(2)如图,在RtABC中,C=90,设a,b,c 分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2= a2+b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中

5、四面体性质的猜想.,【解题导引】(1)将双曲正弦函数shx= 和双曲余弦函数chx= ,右端相乘,化简整理,再对比正弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论. (2)考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象.,【规范解答】(1)chxchy-shxshy = (ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y) = 2ex-y+2e-(x-y)= =ch(x-y). 答案:ch(x-y)=chxchy-shxshy,(2)如题图所示,在RtABC中,C=90. 设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定

6、 理,得c2=a2+b2. 类似地,在四面体P-DEF中,PDF=PDE=EDF=90. 设S1,S2,S3和S分别表示PDF,PDE,EDF和PEF的 面积,相应于直角三角形的2条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2= S12+S22+S32成立.,【母题变式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.,【解析】如图,在RtABC中, cos2A+cos2B=,于是把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想,三棱锥P-AB

7、C中,若三个侧面PAB,PBC, PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为,则cos2+cos2+cos2=1.,2.本例(2)条件改为“如图,作CDAB于点D,则有 ”.类比该性质,试给出空间中四面体性质的猜想.,【解析】类比猜想: 四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直, AE平面BCD,则 如图,连接BE交CD于点F,连接AF, 因为ABAC,ABAD,ACAD=A,所以AB平面ACD,而AF平面ACD,所以ABAF.,在RtAEF中,AEBF, 所以 易知在RtACD中,AFCD, 所以 猜想正确.,【规律方法】 1.类比推理的几个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几

8、个方面考虑类比: 类比定义;类比性质;类比方法;类比结构.,2.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).,【变式训练】已知ABC的顶点A,B分别是离心率为e的圆锥曲线 =1的焦点.顶点C在该曲线上;一同学已正确地推得:当mn0时有e(sinA+sinB)=sinC.类似地,当m0,n0时,有_. 【解题提示】把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论.,【解析】当mn0时, 为椭圆, |AC|+|BC|= e(sinA+sinB)=sinC. 当m0,n0时, 为双曲线,|AC|-|BC|= e

9、|sinA-sinB|=sinC. 答案:e|sinA-sinB|=sinC,【加固训练】 如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当 时,其离心率为 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”. 类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e等于(),【解题提示】根据“黄金椭圆”的性质是 , 可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质.,【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为 则B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中, 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等号两边同除以a2,得e=,考点二归纳推理 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:与数列(数字)有

10、关的推理 【典例2】(1)(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(),A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014,(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为 记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式: 三角形数N(n,3)= n2+ n, 正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)= n2- n, 六边形数N(n,6)=2n2-n, 可以推测N(n,k)的表达式,由

11、此计算N(10,24)=_.,【解题导引】(1)设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15, a+16,a+17,a+18,根据题意求和验证. (2)通过观察,得出N(n,k)的通项公式:N(n,k)=akn2+bkn (k3),然后分别得出ak与bk的通项公式,便可代入求解.,【规范解答】(1)选B.根据题干图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012

12、,得a=212,是自然数.,(2)三角形数N(n,3)= 正方形数N(n,4)=n2= 五边形数N(n,5)= 六边形数N(n,6)=2n2-n= k边形数N(n,k)=,所以N(10,24)= =1000. 答案:1000,命题角度2:与不等式有关的推理 【典例3】观察下列不等式 照此规律,第五个不等式为_.,【解题导引】观察不等式两边式子的特点,总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系.,【规范解答】左边的式子的通项是 右边式子的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发 现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不 等式为 答案:,命题角度3:与图形有关的推理 【典例4】(2017成都

13、模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120,依此规律得到n级分形图.,(1)n级分形图中共有_条线段. (2)n级分形图中所有线段长度之和为_.,【解题导引】(1)根据图形找出线段的生发规律. (2)由分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,可得n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3 (nN*).,【规范解答】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3=(32-3)条线段,二级分形图

14、有9=(322-3)条线段,三级分形图中有21=(323-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数an=32n-3(nN*).,(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原 来 的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度 为bn=3 (nN*),所以n级分形图中所有线段长度 之和为Sn= 答案:(1)32n-3(nN*)(2)9-9,【技法感悟】 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题:主要是观察数字特点,找出等式左右两侧的规律. (2)与不等式有关的推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.,(3)与图形有关推理:合理利用特殊图形归纳推

15、理得出结论.,【题组通关】 1.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=() A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x),【解析】选D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当f(x)是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).,2.如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五

16、个等式为21+23=10以此类推,则第99个等式为(),20+21=3 20+22=521+22=6 20+23=921+23=1022+23=12 20+24=1721+24=1822+24=2023+24=24 A.27+213=8320 B.27+214=16512 C.28+214=16640 D.28+213=8448,【解析】选B.依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);,又因为99=

17、(1+2+3+13)+8,因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27+214=16512.,3.(2016山东高考)观察下列等式:,照此规律, =_.,【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数 因数的和.因此答案为 答案:,【加固训练】(2017达州模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下: 1371321 591523 111725 1927 29 则第30行从左到右第3个数是_.,【解析】观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+60= -1=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30

18、行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051. 答案:1051,考点三演绎推理 【典例5】(2017保定模拟)数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(nN*),证明: (1)数列 是等比数列. (2)Sn+1=4an.,【解题导引】(1)利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1. (2)根据 是等比数列得到Sn+1与Sn-1的关系,再利用 an= Sn-1证明.,【规范解答】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 所以 (小前提) 故 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了),(2)由(1)可知= 所以Sn+1=4(n+1) =4an(n2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论),【误区警示】解答本题会出现以