1-1 映射与函数

1、绪 论,引 言,一、什么是高等数学 ?,高等数学,是研究现实世界中数量关系和空间形式,二、为什么要学习高等数学？,1、高等数学是本科院校工科专业的基础课和必修课,2、是进一步学习其他专业课的工具学科,3、是进一步提升学历层次的必考课程,4、给大家搭建展示才智的平台,的科学,三、如何学好高等数学 ?,1、态度决定一切.,3、 培养学习兴趣.,2、了解学科特点.,4、 提高学习效率.,5、 合理安排时间.,自我约束,踏实认真,答疑,数学竞赛,答疑时间： 每周六 9:0011:30 14:3017:00 318周,答疑地点：E5401,期中考试,一、高等数学课程介绍 二、预备知识,绪论,一、高等数学

2、课程介绍 二、预备知识,绪论,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,函 数,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数

3、积分学,应用,切线、法平面、梯度,曲面面积、体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,切线、法平面、梯度,曲面面积、体积、质心,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,

4、多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,切线、法平面、梯度,曲面面积、体积、质心,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,切线、法平面、梯度,曲面面积、体积、质心,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数

5、,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,极限方法,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积

6、体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,

7、切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数

8、微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微

9、分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,导数,微分,函 数,极限,连续,分析 引论,微分学,不定 积分,定 积分,积分学,应用,中值定理,元素法,切线、图形 、速度,面积、体积 、作功,多元函数,偏导数,全微分,重积分,线面积分,多元函数 微分学,多元函数 积分学,应用,切线、法平面 、梯度,曲面面积 体积、质心,空间解析几何,无穷 级数,常微分 方程,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的,一、高等数学课程介绍,（一）研究对象 （二）教学内

10、容 （三）研究方法 （四）教学目的,一、高等数学课程介绍 二、预备知识,绪论,一、高等数学课程介绍 二、预备知识,绪论,二、预备知识,逻辑符号,对任意的，对所有的，(Any),存在一个，（Exist),充要条件,A是B的充分条件，B是A的必要条件,A是B的充要条件,绝对值不等式,或,第一讲 映射与函数,函数,映射,函数,概念,映射,映射的概念,定义,原像,像,注,（1）,映射的三要素：,定义域、值域的范围、对应法则；,（2）,映射的像唯一，但原像不一定唯一；,（3）,映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称,非空集X,数集Y,X上的变换,非空集X,非空集X,X上的函数,实数集X,实数集Y,

11、X上的泛函,X,Y,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,若 f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射、单射和双射,逆映射,设 f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射、单射和双射,f,Y=f (X),逆映射,若 f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射、单射和双射,f,逆映射,若 f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射、单射和双射,f,逆映射,若 f 是从X 到Y 的单射，,这个映射 g 称为 f 的逆映射，记作,注,(1),只有单射才存在逆映射,(2),值域,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,复合映射,定义,即：,注,(1),映射 g 和 f 构成复合映射的条件：,(2),映射

12、g 和 f 的复合是有顺序的,例题,映射 f 是否单射？是否满射？,例1,(1),3.,写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题：,若存在逆映射，求出逆映射,(2),1.,2.,例2,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,函数的概念,定义,通常简记为,f ( D ),因变量,自变量,定义域,值域,注,(1),注意符号 f 和 f (x) 的区别,(2),表示函数的记号可以任意选取,(3),函数的要素：,定义域,对应法则,函数的要素,1定义域,定义域是非空的数集,定义域的求法：,(1),使表达式有意义的自变量的集合.,(2),例3,2对应法则,表示法：,(1),解析法,表格法,图象法,解

13、析式的理解：,(2),一系列的运算程序,例如：,理解为：,注,只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是相同的，否则就是不同的.,例4,下列函数是否相同，为什么？,(1),(2),函数的几种特性,1函数的有界性,设函数 f (x) 的定义域为 D，数集,称为函数 f (x) 在X上的一个上界,类似可以定义函数 f (x) 在X上有下界,函数的几种特性,1函数的有界性,设函数 f (x) 的定义域为D，数集,如果存在数,使得,对任一,都成立,那么称函数 f (x) 在X上有上界,称为函数 f (x) 在X上的一个上界,类似可以定义函数 f (x) 在X上有下界,x,o,y,注,(1

14、),有界性的概念须明确数集,(2),若函数 f (x) 在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一,例：,函数的几种特性,1函数的有界性,设函数 f (x) 的定义域为D，数集,注,函数 f (x) 在 X上有界,例：,就称函数 f (x) 在 X上无界,即：,使,函数 f (x) 在 X上既有上界，又有下界,函数的几种特性,2函数的单调性,设函数 f (x) 的定义域为D，区间,如果对于区间 I 上的任意两点 x1及 x2，,那么称函数 f (x)在区间I上是单调增加的,类似可定义函数 f (x)在区间 I 上是单调减少的,函数的几种特性,2函数的单调性,设函数 f (x) 的定义域为D，区间,

15、如果对于区间I上的任意两点x1及x2，,那么称函数 f (x)在区间 I 上是单调增加的,类似可定义函数 f (x) 在区间 I上是单调减少的,例：,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,函数的几种特性,3函数的奇偶性,设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称,那么称函数 f (x )为偶函数,那么称函数 f (x)为奇函数,注,偶函数的图形关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称,函数的几种特性,4函数的周期性,例：,常量函数,那么称函数 f (x) 为周期函数，l 称为 f (x) 的周期.,注,周期函数在每个周期上有相同的图形,（1）,（2）,通常周期函数的周期是指最小正周期,（3）,并非每个周期函数都有最小正周期,狄利克雷函数,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,概念,构造,反函数,反函数,概念,注,(1),(2),集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,概念,构造,反函数,复合函数,复合函数,概念,注,(1),(2),在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数.,例：,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,概念,构造,反函数,复合函数,四则运算,函数的四则运算,和（差）,积,商,集合,区间,邻域,函数,概念,映射,逆映射,概念,构造,反函数,复合函数,四则运算,初等函数,基本初等函数,基本初等函数与初等函数,基本初等函数,