高考数学人教A一轮复习课件74直线平面平行的判定及其性质

1、第四节 直线、平面平行的判定及其性质,【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理,此平面内,la,a,l,交线,l,l,=b,2.平面与平面平行的判定定理和性质定理,相交直线,a,b,ab=P,a,b,相交,交线,=a,=b,【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若,则.,2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是() A.若a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面,B.若直

2、线a和平面满足a,那么a与内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面满足ab,a,b,则b,【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错误,a与内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a,可得a平行于经过直线a的平面与的交线c,即ac,又ab,所以bc,b,c,所以b.,2.(必修2P56T2改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是 DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为_.,【解析】连接BD,设BDAC=O,连接EO,在BDD1中,点E,O分别是DD1,BD的中点,则EOBD1,又因为EO平面ACE,BD1平面AEC

3、,所以BD1平面ACE. 答案:平行,感悟考题试一试 3.(2016全国卷)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(),【解析】选A.如图所示: 因为平面CB1D1,所以若设平面CB1D1平面ABCD=m1,则m1m. 又因为平面ABCD平面A1B1C1D1, 结合平面B1D1C平面A1B1C1D1=B1D1, 所以B1D1m1,故B1D1m.,同理可得:CD1n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成 角的大小相等,即CD1B1的大小. 而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线), 因此CD1B1=

4、 ,即sinCD1B1= .,4.(2017太原模拟)若a,b,c为三条不同的直线, ,为三个不同的平面,则下列命题正确的为 () A.若a,b,则ab B.若a,a,则 C.若a,b,则ab D.若,则,【解析】选C.对于A,空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行,故A错误;对于B,空间中平行于同一条直线的两平面平行或相交,故B错误;对于C,空间中垂直于同一个平面的两条直线平行,故C正确;对于D,空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行,故D错误.,考点一直线与平面平行的判定与性质 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:证明直线与平面平行 【典例1】(2016山东高考)在如图所

5、示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.,(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB. (2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.,【解题提示】(1)利用线线垂直判断线面垂直,再由线面垂直的性质证明线线垂直. (2)找FC中点I,连接GI,HI,构造面面平行,进而证明线面平行.,【规范解答】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点, 所以ACDE,ACDB,DEDB=D,又EFDB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC平面EFBD,所以ACFB.,(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GIEF,HIBC, 又EFDB,所以GIBD,又GIHI=I,B

6、DBC=B, 所以,平面GHI平面ABC,因为GH平面GHI, 所以GH平面ABC.,命题角度2:线面平行性质定理的应用 【典例2】 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为2 .点G, E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的 四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.,(1)证明:GHEF. (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.,【解题导引】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH. (2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK,则 点K为OB的中点,由面面垂直得出GKEF,再由梯形面积 公式S= GK计算求解.,【规

7、范解答】(1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH, 所以GHBC,同理可证EFBC,因此GHEF.,(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK, 因为PA=PC, 点O是AC的中点, 所以POAC, 同理可得POBD, 又因为BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD, 又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH, 所以PO平面GEFH, 因为平面PBD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得 EBAB=KBDB=14,从而KB= D

8、B= OB,即点K是OB的中点. 再由POGK得GK= PO, 即点G是PB的中点, 且GH= BC=4, 由已知可得OB=4 ,PO= 所以GK=3,故四边形GEFH的面积S= 3=18.,【技法感悟】 1.证明直线与平面平行的两种重要方法及关键,2.线面平行性质定理的应用 转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.,【题组通关】 1.(2014全国卷改编)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,点E为PD的中点,AB=1, 求证:CE平面PAB.,【证明】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 . 如图所示,延长DC,AB,设其

9、交于点N,连接PN, 因为NAC=DAC=60,ACCD,所以点C为ND的中点, 又因为点E为PD的中点,所以ECPN,因为EC平面PAB, PN平面PAB,所以CE平面PAB.,【一题多解】解答本题,还有以下方法: 取AD中点为M,连接ME,MC, 因为点E为PD的中点,所以EMPA,EM平面PAB, PA平面PAB,所以EM平面PAB,由已知得 AC=2AB=2,AD=2AC=4,则CM=AM=2,所以 BAC=ACM=60,所以MCAB,又因为CM平面PAB,所以CM平面PAB,而CMEM=M, 所以平面EMC平面PAB, 又因为CE平面EMC, 所以CE平面PAB.,2.如图,四棱锥P

10、-ABCD中,ADBC,AB=BC= AD,点E, F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线 段OF上一点. (1)求证:AP平面BEF. (2)求证:GH平面PAD.,【证明】 (1)连接EC, 因为ADBC,BC= AD, E为AD中点, 所以BCAE, 所以四边形ABCE是平行四边形,所以点O为AC的中点, 又因为点F是PC的中点,所以FOAP, 又FO平面BEF,AP平面BEF, 所以AP平面BEF.,(2)连接FH,OH, 因为点F,H分别是PC,CD的中点, 所以FHPD,FH平面PAD,PD平面PAD,所以FH平面PAD, 又因为点O是AC的中点,点H是

11、CD的中点, 所以OHAD,同理OH平面PAD,又因为FHOH=H, 所以平面OHF平面PAD. 又因为GH平面OHF,所以GH平面PAD.,考点二面面平行的判定与性质 【典例3】(2017长春模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC上一点,且A1B平面AC1D,点D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.,【解题导引】先证点D是BC的中点,再证BD1DC1. 【规范解答】如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED. 因为四边形A1ACC1是平行四边形, 所以点E是A1C的中点, 因为A1B平面AC1D,平面A1BC平面AC1D=ED, 所以A1BED,因为点E是A1

12、C的中点,所以点D是BC的中点, 又因为点D1是B1C1的中点,所以D1C1 BD, 所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1C1D. BD1平面AC1D,C1D平面AC1D, 所以BD1平面AC1D, 又因为A1BBD1=B, 所以平面A1BD1平面AC1D.,【规律方法】 1.判定面面平行的方法 (1)利用定义:常用反证法. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行. (4)利用两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.,2.面面平行的性质 (1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面. (2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.,3.证明

13、线线平行的常用方法 (1)利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可. (2)利用三角形的中位线的性质. (3)构建平行四边形利用其对边平行. (4)利用面面平行的性质定理.,易错提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.,重视三种平行间的转化关系 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.,【变式训练】 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点O是 底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1= . (1

14、)证明:平面A1BD平面CD1B1. (2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.,【解析】(1)由题设知,BB1DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形, 所以BDB1D1, 又因为BD平面CD1B1, B1D1平面CD1B1, 所以BD平面CD1B1.,因为A1D1 B1C1 BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形, 所以A1BD1C, 又因为A1B平面CD1B1, D1C平面CD1B1, 所以A1B平面CD1B1,又因为BDA1B=B, 所以平面A1BD平面CD1B1.,(2)因为A1O平面ABCD, 所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高. 又因为AO= AC=1,AA1=

15、, 所以A1O= 又因为SABD= 所以 =SABDA1O=1.,【加固训练】 1.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,点H是B1C1的中点. (1)求证:E,B,F,D1四点共面. (2)求证:平面A1GH平面BED1F.,【证明】(1)连接FG.因为AE=B1G=1,所以BG=A1E=2,又因为BGA1E,所以四边形BGA1E为平行四边形,所以A1GBE.又因为C1FB1G,C1F=B1G,所以四边形C1FGB1为平行四边形,所以FGB1C1,FG=B1C1.,又因为B1C1D1A1,B1C

16、1=D1A1,所以FGD1A1,FG=D1A1,所以四边形A1GFD1为平行四边形,所以A1GD1F,所以D1FBE.故E,B,F,D1四点共面.,(2)因为点H是B1C1的中点,所以B1H= . 又因为B1G=1, 又因为 且FCB=GB1H=90. 所以B1HGCBF,则B1GH=CFB=FBG.所以HGFB. 又由(1)知,A1GBE,且HGA1G=G,FBBE=B,所以平面A1GH平面BED1F.,2.平面内有ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形BCDE的底DE=2,过EB的中点B1的平面,若分别交EA,DC于A1,C1,求A1B1C1的面积.,【解析】因为,所以A1B1AB,B

17、1C1BC, 又因A1B1C1与ABC同向. 所以A1B1C1=ABC. 又因为cosABC= 所以ABC=60=A1B1C1. 又因为B1为EB的中点, 所以B1A1是EAB的中位线,所以B1A1= AB= , 同理知B1C1为梯形BCDE的中位线, 所以B1C1= (BC+DE)=5. 则 故A1B1C1的面积为,考点三线、面平行中的探索性问题 【典例4】在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.,(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1. (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.,【解题

18、导引】(1)先利用线面垂直的判定定理证明AA1平面ABC,再证明直线BC平面ACC1A1.(2)由于D,E分别是线段BC,CC1的中点,易猜想M应为线段AB的中点,只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可.,【规范解答】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1AB,AA1AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面ABC,所以AA1BC. 又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.,(2)存在一点M(线段AB的中点),使DE平面A1MC. 证明如下: 取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1. 设O为A1C,AC1的交点. 由已知,O为AC1的中点,连接MD,OE, 则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE, 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形, 则DEMO. 因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC, 所以直线DE平面A1MC.,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.,【规律方法】 解决探索性问题的策略方法 (1)根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就