第二章--平面问题的基本理论1

1、附录1 张量基础,i1 张量1,张量特征 笛卡儿张量下标 求和定约 偏导数下标记法 特殊张量,张量简化缩写记号表达物理量的集合 显著优点基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征 整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义 笛卡儿（Descartes）张量定义 一般张量曲线坐标系定义,i1 张量1,三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。,位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3）,表示为u1, u2, u3,9个独立变量的集合，两个下标来表示,sij和eij 9个应力分量或应变分量,sij,k 27个独立变量的集合用三个下标

2、表示,i下标,i1 张量2,求和定约 张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。,哑标： 出现两次的下标求和后消失,自由标：非重复下标,自由标个数表示张量表达式代表的方程数,i1 张量3,偏导数的下标记法 缩写张量对坐标xi偏导数的表达式 逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。,利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为,i1 张量4,张量的偏导数集合仍然是张量 证明： ui，j如果作坐标变换,由此可证，ui, j服从二阶张量的变换规律,由于,因此,i1 张量5,特殊的张量符号,克罗内克尔（Kronecker Delta）记号d ij,显然,克罗内克尔

3、记号是二阶张量 运算规律,i1 张量6,置换符号eijk,偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列 奇排列,i1 张量8,二阶对称张量 反对称张量,任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。 张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。,i1 张量9,第二章 平面问题的基本理论,要点, 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主 要 内 容,2-1 平面应力问题与平面应变问题,2-2 平衡微分方程,2-3 斜面上的应力 主应力,2-4 几何方程 刚体位移,2-5 斜方向的

4、应变及位移,2-6 物理方程,2-7 边界条件,2-8 圣维南原理,2-9 按位移求解平面问题,1-10 按应力求解平面问题 相容方程,1-11 常体力情况下的简化,1-12 应力函数 逆解法与半逆解法,2-1 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不

5、变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面

6、,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位

7、移间的关系；,建立边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,上次课的主要内容：,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1） 连续性假定；,（2） 线弹性假定；,（3） 均匀性假定；,（4） 各向同性假定；,（5）小变形假定。,（注意：剪应力正负号规定）,（掌握这些假定的作用）,基本概念：,2-2 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：X ，Y,AC面：,BC面：,注： 这里用了

8、小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,由微元体PABC平衡，得,整理得：, 剪应力互等定理,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,张量表达式：,2-3 斜面上的应力 主应力,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量X

9、N，YN,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量: s,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。, 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,2. 一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力

10、 称为该点一个主应力 ；,当 时，有,求解得：,（2-7）, 平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）最

11、大、最小剪应力,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,小结：,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,2-4 几何方程 刚体位移,建立：平面问题中应变与位移的关系, 几何方程,1. 几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应

12、变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,2. 刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。 即：,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e) ，得：,(e),其中，u0、v0为积分

13、常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10), 刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的角度（刚性转动）,2-5 斜方向的应变及位移,1. 斜方向的正应变N,问题：,已知 ，求任意方向的线应变N 和线段夹角的变化。,设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：,于是PN 在坐标轴上的投影为：,N 点位移：,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,设PN变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为N ，由应变的定义：

14、,两边同除以 (dr)2，得,化开上式，并将,的二次项略去，有,dr,（2-11）,2. P点两线段夹角的改变,变形前：,PN 的方向余弦,PN 的方向余弦,变形后：,P1N1 的方向余弦,P1N1 的方向余弦,化简，得：,略去二阶小量；,同理，得：,PN 与 PN变形后的夹角改变为：,代入，并利用：,并略去高阶小量，有,（2-12）,从中求出变形后两线段间的夹角,进一步求出,3. 斜方向应变公式的应用,3. 斜方向应变公式的应用,（1）,已知一点的应变 ，可计算任意方向的应变 。 的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。,（2）,已知一点任意三方向的应变 ，可求得该点的应变分量 。,若 用4

15、5应变花测构件表面应变：,若 用120应变花测构件表面应变，即：,求得该点的应变分量:,作为作业！,2-6 物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（2-13）,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（2-15）, 平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2), 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（2-16）,

16、平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,2-7 边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2. 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界

17、,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（2-17）, 平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（2-18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：, 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x = 0 的边界条

18、件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,第二章内容回顾：,1.,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征;,受力特征;,应力特征。,几何特征;,受力特征;,应变特征。,水坝,滚柱,位移边界条件,2.,平面问题的基本方程：,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,（1）,（2）,应力边界条件,平面应力问题,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A