抽样调查-第2章 简单随机抽样

1、.,2.1 定义与符号,一、定义,简单随机抽样：从含有N个单元的总体中随机 抽取n个单元组成样本。,1.若抽样是放回的,则所有可能的样本有,个，每个样本被抽中的概率为 ，这种抽样方 法称为放回简单随机抽样。,2.若抽样是不放回的,则所有可能的样本有,法称为不放回简单随机抽样。,.,1.简单随机抽样是等概抽样,即每个总体单元都有相同的入样概率; 2.随机抽取是有严格要求的,不是随便抽取，必须按照某一随机原则进行。,注意,.,【例 2.1】设总体有5个单元（1,2,3,4,5)，按,放回简单随机抽样的方式抽2个单元，则所有可,(放回简单随机抽样所有可能的样本),.,【例 2.2】设总体有5个单元（

2、1,2,3,4,5)，按,不放回简单随机抽样的方式抽2个单元，则所有可,(不放回简单随机抽样所有可能的样本),在实际工作中，更多地采用不放回简单随机抽样，所以 以下讨论的简单随机抽样一般都指不放回简单随机抽样.,.,二、符号,大写字母表示总体单元的标志值：如,小写字母表示样本单元的标志值：如,调查的总体目标量主要有：,比例 P；两个总体总量的比率 R。,对估计精度进行计算时，要涉及到总体方差和,样本方差等。下面分别列出：,.,总体方差,样本方差,还有一些其他符号,分别说明如下:,.,总 体,，,样 本,将左边式子中 的大写字母改 为小写字母。,.,到的总体指标的估计。如,估计量的方差用V表示，

3、如,标准差用S表示，如,.,2.2 简单估计量及其性质,无论调查对象是何种总体参数，其实所有估计 量通常都是样本均值的某种线性组合，因此在抽样 中不管讨论何种估计的基本性质，都只围绕样本均 值进行。而对样本均值这个核心估计量的研究则分 为两个方面：,一方面是求样本均值对所有可能样本的数学期望 （检验估计量是否无偏）。,另一方面是求样本均值对所有可能样本的方差 （检验估计量误差的大小）。,.,为了讨论简单估计的性质，首先我们来看两个引理： 引理一 从大小为N的总体中抽取一个样本量 为n的简单随机样本，则总体中每个特定单元的入样概率为：,两个特定单元都入样的概率为：,.,引理一的证明：在N个单元中

4、取n个单元为样本， 共有 个样本。在 个样本中，包含某 个特定单元 的样本数为： 每个样本被 抽中的概率为： 。,同时包含两个特定单元 的样本数为 每个样本被抽中的概率为:,.,引理二 从总体规模为N的总体中抽取一个样本量为n的简单随机样本。若对总体中的每个单元 ，引进随机变量 如下：,由二项分布可知：,.,所以，不难推出：,.,下面我们用两种与数理统计中不同的方法 来证明这一性质。思考：为什么不能用数理 统计中常用的方法？,.,有了这些准备，我们很容易证明,根据前面提到的关于 的定义，有下式,.,证明：对于一个大小为N的总体，样本量为n的,.,.,其他几个估计量的无偏性可容易推出：,1、对于

5、总体总量,2、对于总体比例,.,有限总体校正系数。,.,证明方法一,.,即,.,证明方法二:由定义,而,.,因此有,.,即,.,证明:将 改写成:,.,由前面性质1证明用过的对称论证法有:,由性质2有:,.,.,下面我们从关系式,可以推出其他几个估计量的方差,.,总体总量的估计量方差是总体均值方差的直接 推导，下面我们来推导总体比例估计量的方差。,.,设N个样本单元中有N1个具有某一特性,即有N1个单元取值为1,有N-N1个单元取值为0.,.,同理对样本方差有,因此,.,同样下面我们从关系式,可以推出,.,从式 可以看出，影响估计量方差的因素有：,分析见教材P38,39,.,N通常很大，当f0

6、.05时，可将1-f近似取为1，这时影响估计量方差的主要因素是样本量n和总体方差 。 的大小是我们无法改变的，因此，要提高估计量的精度就只有加大样本量。,注 意,.,【例2.3】我们从某个N=100的总体中抽出一个 大小为n=10的简单随机样本，要估计总体平均水 平并给出置信度95%的置信区间。,解：依题意，N=100,n=10,f=,样本均值为：,.,样本方差为：,因此，总体平均值的估计为：,的方差为：,的方标准差为：,s,的置信度95%的置信区间为：,即 2.4295，7.5705.,.,V（,.,注意:不放回时的方差为放回时的约1-f倍，而,1-f1,因此不放回抽样的估计精度比放回抽样的

7、,估计精度高。,.,【例2.4】我们从某个N=100的总体中抽出一个大 小为n=10的简单随机样本，要估计总体总量并给 出在置信度95%的条件下，估计量的相对误差。,解 依题意，N=100，由例2.3可知：,因此，对总体总量的估计为：,=1005=500 。,.,0,其标准差为：,因此，在置信度95%的条件下（对应的,t=1.96),的相对误差为：,.,【例2.5】,解：已知 n=200, a=130, 1-f1,某超市开张一段时间之后，为改进销售服务环境，欲调查附近几个小区居民到该超市购物的满意度。该超市与附近几个小区居委会取得联系，在整体中按简单随机机样，抽取了一个大小为n=200人的样本

8、。调查发现对该超市购物环境表示满意或基本满意的居民有130位，要估计对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并在置信度95%条件下，给出估计的绝对误差和置信区间。假定这时的抽样比可以忽略。,.,在置信度95%的条件下，估计的绝对误差为：,的95%置信区间为：,0.65,.,2.3 比率估计量及其性质,用样本均值作为总体均值的简单估计量，具有 无偏等很多优良性质，且完全不依赖其它总体信息。 但是，若我们有与调查变量相关的其它信息（通常 称为辅助变量信息）可以利用，则估计的精度可以 大大提高。这就是我们下面要讲的比率估计和回归 估计。,一、估计的概念,.,设 主要变量为：Y 辅助变量为：X 两变量的

9、比率为：,总体均值的比估计：,其中,.,二、比率估计的特点及注意事项,1、使用比估计首先要知道辅助变量的总体均值（或总体总量），调查时，既要观测主要变量的 值还要观测辅助变量的值； 2、辅助变量必须与主要变量高度相关且整体上 应相当稳定； 3、比估计虽然不是无偏的，但其精度要高于简 单估计量很多。,下面我们看一个简单估计与比估计对比的例题,.,【例】,对以下假设的总体（N=6），用简单随机抽,样抽取 n=2 的样本，比较简单随机抽样比率估计及简 单估计的性质。,解：,对这个总体，我们列出所有可能的,个样本，以比较简单估计与比率估计的性质。,.,.,由此，可以算出：,.,总结 1、从计算表格中可

10、以看出，均值的比估计很稳定， 而均值的简单估计则波动剧烈。 2、虽然比率估计是有偏估计，但偏倚不大，而估计 量方差要比简单估计的方差小得多。 3、比估计是一种很好的估计量，是提高估计精度的 最有效的途径。 4、思考：比估计为什么能大幅度地提高估计精度？,.,对于简单随机抽样, n较大时,比率估计具有以下性质：,.,关于比率估计我们要说明 （或证明）以下几个问题： 1、均值的比率估计不是无偏的； 2、偏倚是怎么产生的； 3、均值比率估计的均方误差； 4、均方误差的估计。,.,第一个问题可从上面的例题给予说明：,第二个问题我们可以从下面的表达式说明：,这里 是常量， 是随机变量。估计量不是 随机变

11、量的线性函数。因此，估计量的偏倚是由R 的有偏性造成的.,.,第三个问题，我们来证明R估计的偏倚,.,因此,因而偏倚主要来自于等式右边的第二项,由,.,因此，偏倚的主要项为：,同样我们可以推出：,.,.,对上述方差分别给出样本估计式如下：,.,【例2.2】某县在对船舶调查月完成的货运量进行调查时，对运管部门登记的船舶台帐进行整理后获得注册船舶2860艘，载重吨位154626吨。从2860艘船舶中抽取一个n=10的简单随机样本，调查得到样本船舶调查月完成的货运量及其载重吨位如表（单位：吨），要推算该县船舶调查月完成的货运量。,.,.,因此,对该县船舶在调查月完成货运量的比率估计为:,方差的估计为

12、:,=2.10617,.,标准差的估计为:,如果用简单估计对货运量进行估计,则,由此,得到比率估计量设计效应为:,对于本问题,比率估计量 比简单估计量的效率高!,.,【例2.3】在一项工资研究中，人们发现IT行业中， 从业者的现薪与起薪之间相关系数高达0.88，已知 某IT企业474名员工的平均起薪为17016.00元/年， 现根据对100个按简单随机抽样方式选出的员工现薪 的调查结果，估计该企业员工的现薪平均水平。 已知：,.,【解】 1、在简单估计条件下，,的95%的近似置信区间为：,此处教材有误(P51),.,2、在比率估计条件下，,的95%的近似置信区间为：,.,下面我们从理论上来比较

13、简单估计与比率估计的误差,比率估计量精度高于简单估计量的充要条件是：,.,也就是说，,比率估计比简单估计更为精确。,尤其是当 时，只要相关系数 ， 比率估计就要优于简单估计。,比率估计的其他问题看教材P53,.,2.4 回归估计量及其性质,一、回归估计的定义,的回归估计量（regression estimatior)的定义为：,如果=0，则回归估计量就是简单估计量；,.,归系数,稳定在某个数值上，取最近一次调查,性质2 对于简单随机抽样回归估计量，作为,的方差分别为：,.,协方差。,的样本估计量为：,.,我们对上式两端关于 求导数，得：,.,.,三、为样本回归系数的情形,如果需要通过样本来确定

14、，很自然地，,我们会想到用总体回归系数的最小二乘估计，,也就是样本回归系数：,这时简单随机抽样回归估计量,是有偏的。但当样本量,n充分大时，估计量的偏倚趋于零。因此，类似,比率估计量，回归估计量也是渐近无偏的。,.,且有,的一个近似估计为：,.,【例4.5】(续P72的例4.2)利用回归估计量推算该县船舶 调查月完成的货运量.,解:根据例4.2中的计算结果可得样本回归系数:,从而,.,因此，该县船舶调查月完成的货运量的回归 估计为：,为了估计 ，先计算回归残差方差：,所以,.,对于同一个题，我们来比较三种估计量的误差差异,.,与例4.2的结果比较，对于本问题回归估计优于比率估计，而比率估计又优

15、于简单估计； 回归估计优于比率估计的原因是回归直线可以不通过原点。 比较上述估计量的优劣，一般是通过比较它们的均方误差或方差大小来进行。,.,关于简单估计、比率估计、 回归估计的估计量方差比较,简单估计量：,比率估计量：,回归估计量：,.,由此可以看出(在不考虑偏倚的情况下）有以下结论：,2.比率估计量优于简单估计量的条件是:,3.回归估计量优于比率估计量的条件是:,在不考虑偏倚时，回归估计总是优于比率估计,1.回归估计量总是优于简单估计量，除非 即一般而言有,.,如果不忽略偏倚，全面考虑比率估计 和回归估计的均方误差MSE，那情况会怎 么样呢？ 下面我们通过教材P61.表213的实际 例题来

16、分析比较。(略,看教材),.,2.4 简单随机抽样的实施,一、样本量的确定原理 我们知道n的大小会影响抽样误差，因为如果 n越接近N，则抽样误差就会越接近于零，这一点 也清楚地体现在下面的式子里。,三个因素决定 n,.,在上式中，N是已知的，S是无法知道的，所以要考 考虑影响n的重点应该是抽样误差。 习惯上，不以 作为调查精度指标，而是用置信度 和绝对误差限度 替代抽样误差,根据双侧分位点的定义有,.,下面我们分别观察等式右端各部分对n的影响。,.,置信度对样本量n的影响,绝对误差限度d对样本量n的影响,这里,.,总体方差对样本量n的影响,这里,下面我们把置信度设为： 绝对误差设为： 总体方差

17、设为： 来观察总体规模N对样本量n的影响,.,总体规模N对样本量n的影响,.,二、样本量的确定步骤,第一步：确定委托单位认可的估计精度水平，包括 绝对误差d和置信水平； 第二步：按照保守原则（宁大勿小），实施对总体 方差的预估； 第三步：根据上述给定的估计精度和总体方差的预 估值并考虑总体N的大小，以简单抽样及回答率100% 为前提条件，按下面的式子计算初始样本量n,.,第四步：确定抽样方法，并根据不同抽样方法的抽样 效应deff对样本容量进行调整：,简单随机抽样的 分层随机抽样的 整群随机抽样的 系统随机抽样的,.,第五步：判定有效回答率，并根据有效回答率r对 样本容量进行再调整:,第六步：

18、为了获得分组数据，要考虑适当增加样本量； 第七步：要考虑调查费用，适当调整样本量。,.,三、抽选方法,首先将总体的N个单元从一到N编号，每个单元对应一个号，如果抽到某个号，则对应的那个单元入样。要选出n个单元入样，通常有两种做法：抽签法和随机数法。,1、抽签法 当总体不大时，可以用均匀同质的材料制作N个签，将它们充分混合，然后一次抽取n个签；或一次抽取一个签，但不放回，接着抽下一个签直到第n个签为止。则这n个签上所示号码表示入样的单元号。,.,2、随机数法,(一) 随机数表 随机数表是由数字0，1，2，9组成的表，每个数字都有同样的机会被抽中，用随机数表抽取简单随机样本，可用下面两种方法：,.,方法一 根据总体大小N的位数确定在随机表中随机抽取几列。如N=678，要抽取n=5的样本，则在随机数表中随机抽取3列，依次往下，选出头5个001678之间互不相同的数。,.,方法二 若N的第一个数字小于5，且n较大，则方法一可能花费较多的时间。如N=327，按方法一则328999的数都没有用，这时采用下面的方法可能更好： 在随机数表