南沙培训《数学及其分支学科的基础理论》

1、数学及其分支学科的基础理论,越秀区教师进修学校（教研室） 冼颂华 2013-07-17 广州南沙,内容提要,一、什么是数学,二、与小学数学息息相关的数学分支的历史简介、基本理论知识,1-1 什么是数学,1、数学是研究数量关系与空间形式的科学，是一门自然科学。（恩格斯） 该定义被誉为近代之前概括度最高、内涵最精准的对数学学科的定义。,2、但随着数学学科的发展，特别是近一百年的发展，数学所研究的内容已经超出数量关系和空间形式两个方面。个人认为，数学研究的范围应包括以下三个方面： 数量关系 空间形式 逻辑,（1）数学要研究数量关系与空间形式，这是无可厚非的。但在十二年前，我国启动新一轮课程改革时，却

2、将数量关系置于一个可有可无的位置上，引致学生的数量关系意识非常淡漠，基础很不牢固，害了一代的学生。在2011年修订的课程标准中，重新将数量关系与空间形式提到重要的位置上，至此，中国的新课程改革在走了十年冤枉路后重新回归到原点。,1-2有关数学学科的两段题外话,（2）数学要研究数量关系与空间形式，这个不难理解。但数学的研究内容为什么还要包括逻辑呢？下面请看一例证明：,1-2有关数学学科的两段题外话,所有偶数都是整数。 （真命题） 3不是偶数。 （真命题） 3不是整数。 （假命题）,上面证明过程中最值得注意的是：大前提和小前提都是真命题，但由于推理规则不符合逻辑，所以得到的结论的假命题。可见，数学

3、所研究的内容不能不包括逻辑这一项，本例的证明过程正好阐明本人之前提出的观点，即数学研究的内容应当是数量关系、空间形式和逻辑。,2-0 与小学数学息息相关的数学分支及历史简介,1、算术,2、几何,3、代数,4、数论,5、统计,我们知道，数学是一门内容广博的学科，它有许许多多的分支学科，比如微积分、图论、泛函分析等，都是数学的分支学科。那么十二册小学课本当中的教学内容，又涉及到哪些数学的分支学科呢？,今天的课，我们先着重介绍算术和几何两个分支的教学内容及基础理论。,2-1 算术,自然数或正整数的数学理论就是众所周知的算术。至于几何、 算术、代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。,

4、算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学算术。在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。,算术的发展史 算术是数学的一个分支，其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质，运算法则以及在实际中的应用。可是，在数学发展的历史中，算术的含义比现在广泛得多。 在中国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术，也泛指当时一切与计算有关的数学知识。

5、算术一词正式出现于九章算术中。九章算术分为九章，即方田、粟米等，大都是实用的名称。如“方田”是指土地的形状，讲土地面积的计算，属于几何的范围；“粟米”是粮食的代称，讲的是各种粮食间的兑换，主要涉及的是比例（此处的“比例”与今天小学课本中的正、反比例有所不同），也归到算术的范围。可见，当时的“算术”是泛指数学的全体，与现代的意义不同。,算术的发展史 直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在数学家的著作中，往往数学与算学并用。当然，此处的数学仅泛指中国古代的数学，它与古希腊数学体系不同，它侧重研究算法。 从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入中国。西方传教士多使用数学，日本后

6、来也使用数学一词，中国古算术则仍沿用“算学”。 1935年，中国数学会成立数学名词审查委员会，确立起“算术”现在的意义，而算学与数学仍并存使用。1937年，清华大学仍设“算学系”。1939年为了统一起见，才确定专用“数学”。,算术最初是研究自然数及其运算，进而再认识自然数的性质，以下是自然数一些基本理论和性质。,3、任何一个自然数，必有且只有一个后继数。,2、如果一个数集符合以下条件，这个数集就称为良序集： （1）有最小的元素，且任何非空子集也有最小元素。 （2）所有元素可以由最小元素进行简单加法得到。 （3）所有元素可以按从小到大的顺序排成一列。 自然数集曾经是良序集。直至0被规定为自然数后

7、，自然数集就不再是良序集，因为它不符合上面第二条规定。这也是许多数学家不同意将0归为自然数的最主要原因。,1、自然数是从计数中产生的，或者说自然数是数物件而产生的。,（1）自然数同时具有基数意义和序数意义，这是两个非常重要的意义。,下面有关“数”的算术理论，你应当知道：,（2）分数集与自然数集是等势的，所以分数也具有基数意义和序数意义，不过分数集的序数意义几乎没用，多数用的只是基数意义。,（3）小数（或者说是实数）只有基数意义，没有序数意义。,假如ANDROID系统目前流行的版本是4.2，你知道它的下一个版本是多少吗？,（4）复数既没有基数意义，也没有序数意义。只不过人们希望复数能像实数一样具

8、有基数意义，所以引入了一个新概念复数的模。复数的模是可以比较大小的。,答案会让人意外，不是4.3，而居然是4.22。可见，小数没有序数意义，但有基数意义，你看见4.22大于4.2，自然就知道4.22的版本比4.2高一些。,算术所研究的数，主要是有理数，包括整数、分数、有限小数或循环小数。而这几类数都有个特点可以单位计量化。例如： 整数的计数单位有一、十、百、千、万等，任何一个整数都可以单位计量化：30是3个十，3400是34个百。负整数也可以迁移这种计量方法。 小数的计数单位有十分之一、百分之一、千分之一等。任何一个有限小数都可以单位计量化。例如0.19是19个百分之一，12.4是124个十分

9、之一。 分数的计数单位有二分之一、三分之一、四分之一等。任何一个分数都可以单位计量化。例如3/4是3个1/4，7/6是7个六分之一。循环小数当化成分数后，也可以单位计量化。,任何一个有限小数或循环小数，都可以化成分数（既约分数）。 例1、将循环小数0.0959595化成分数。,上面的解答过程还有一个重要的意义，任何有限小数或循环小数都可以化成既约分数（最简分数）。于是乎，有理数可以定义为全体整数加全体既约分数。,无理数的发现，令古代算术研究向前迈进巨大的一步，同时也给传统的算术理论带来巨大的冲击。其中冲击最大的莫过于毕达哥拉斯学派。 曾几何时，毕达哥拉斯是数学界的巨擘，他的学说被视为神圣不可侵

10、犯。他曾提出“万物皆数”的观点，意思是所有的数都可以单位计量化。但是他发现的毕达哥拉斯定理却刚好成为推翻这套理论的反例。 他的一位学生发现，边长为1的正方形，其对角线的长度不能用整数或分数来表示。这相当于由此提出了无理数（无限不循环小数）的存在。,上面证明过程还告诉我们一个重要的结论：有理数的除法运算是不可能得到无理数结果的。,例3、试说明下面习题中的本体性知识错误。 写出下面每组数量的最简单整数比。 （1）圆的直径与半径的比。 （2）圆的周长与直径的比。 （3）圆的周长与半径的比。 注：本题出现在旧人教版六年级上册的总复习中。,说明：圆的周长与直径或半径的比都一定是无理数，所以不可能化成最简

11、单整数比。又或者说，圆周率不是靠单纯的除法计算出来的。在同一个圆中，周长或者直径的长度至少有一个是无理数。,产生无理数的原因绝不在于加减乘除，而在于以下三种原因：,题外话：在数学分析中提到的泰勒定理，使我们深刻地认识到，上述三个会产生无理数的成因，归根到底就是求极限的问题。,根据泰勒定理：,将x=1代入上式，求出的极限就是2是算术平方根的值。,同理，根据泰勒定理：,将x=/25代入上式，求出的极限就是sin(/25)的值。,由此可见，开方和超越运算的本质，仍然是求极限。上面的例证更是深刻地告诉我们，你所拥有的数学学科知识越深厚，看问题就越深入，越能抓住本质。,算术除了研究整数、小数和分数的性质

12、，同时还研究它们之间的运算。起先是四则运算，后来发展到六则运算，即包含乘方和开方。,例4. 早在算术时代，人们已经规定运算顺序必须遵守先乘方开方、接着乘除、最后加减。请问，为什么要这样规定？,解：假如同一道式题，每个人都按自己所想的顺序计算，这会导致一道式题会有多个不同的结果。因此我们要规定好运算顺序，然后每个人都自觉遵守，这样一道式题就只有一个结果，就算这个结果的表示形式不同，但数值上是一定相等的。,1-2-2几何,关系几何的研究范围是几何概念的性质及这些概念之间的关系。 度量几何的研究范围是与几何有关的计算。 演绎几何的研究范围是几何命题的判断与推理。,3. 曾经有人将欧氏几何所研究的内容

13、分为关系几何（形式几何）、度量几何和演绎几何。,2. 小学及初中课本中的几何知识，属于欧氏几何中的知识。,“几何”一词原义是“多少”，但数学上“几何”一词则原来是指测量。引入“几何”这个词汇作为数学上的专有名词，历史仅四百零几年。后来特指研究与图形、空间有关的数学知识。,4.欧氏几何是一种理想化的几何，也是世界上最早实现公理化体系的数学分支学科。 5.欧氏几何规定了点、线、面是基本概念，不能由其他任何概念去解释。并对点、线、面作出如下的规定： （1）点是没有部分的东西，不存在体积。 （2）直线由无数的点组成，它可以向两端无限延长，且没有宽度。 （3）平面是由无数点的组成，它可以向四面八方无限延

14、伸，但它没有厚度。 实际生活中是不存在点、直线和平面的，但如果没有了点、线、面的概念以及没有上面的三个规定，整个欧氏几何的概念体系将分崩离析。例如没有规定（2）就没有平行和相交。,6. 欧氏几何中有以下的基本公理，尽管从没有人也不可能有人对这些公理进行严格的证明，但我们又无法推翻它的真实性。 （1）平面上任意两个点确定一条直线，又或者说过任意两点只能画一条直线。 （2）线段可以任意地延长。 （3）以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆。 （4）凡是直角都相等。 （5）两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。与此等价的说法是，两平行直线被第三条直线所

15、截，截得的同位角相等。 （6）边长为单位长度a的正方形，其面积是aa。（有争议） （7）有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；有三边对应相等的两个三角形全等。 上面这些是欧氏几何中平面几何体系中的公理。,立体几何的基本公理： （1）若一条直线上有两个点在某平面内，那么这条直线的所有点都在这个平面内。 （2）过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。 （3）两个不重合的平面如果有一个公共点，那么有且只有一条直线同时属于这两个平面，并经过这个公共点。 （4）同平行于一条直线的两条直线互相平行。 （5）棱长为单位长度a的正方体，体积是aaa。（有争议）,7.欧

16、氏几何的局限性与非欧氏几何体系的产生。 曾几何时，人们认为欧氏几何可以解决生活实际中的全部几何问题。事实上欧氏几何是定义在绝对直线和绝对平面上的几何，这就造成它具有局限性。 注意：有人认为非欧的几何就是解析几何，事实上初等解析几何仍然是建立在欧氏几何的基础上的，只不过是用代数或变量的方面来研究罢了，本质上仍是欧氏几何。,用代数的方法去研究几何，称为解析几何。 例5. 现行的人教版小学教材中，哪些教学内容是属于解析几何的范畴？,1.用直线上的点表示数。从一年级上册起，到六年级下册止，贯穿于多册教材中。属于数轴的教学。,2.位置与方向。三年级下册和四年级下册。属于极坐标系的教学。,3.确定位置。一

17、年级下册和六年级上册。属于平面直角坐标系的教学。,北京,马德里,到底，非欧氏几何的几何学（简称非欧几何）是怎样的呢？ 例6.北京和马德里都位于北纬40度的位置上。假如要设计一条飞机航线，从北京飞往马德里，并且飞行距离最短，应该怎样设计？,例6.解答。 用一个平面去“切”中“北京”和“马德里”两个点，这个平面与球的交线（红色的线）将连结了“北京”和“马德里”两个点，并且能将地球平分为两半。连线共有两段，取最短的一段即可。,例6的启示： 非欧几何虽然看起来与传统的欧氏几何大相径庭，但它却是客观存在的几何。例5中涉及到的几何学称为黎曼几何学，黎曼几何学有许多结论冲欧氏几何的传统理论有非常大的冲击，例

18、如三角形的内角和大于180度。 黎曼几何的产生，使人们对客观世界中的几何学有了更深一步的认识。,1-3 代数 一讲到代数，人们首先想到的就是用字母表示数，又或者是方程。实际上代数学所研究的问题，主要有以下的特点，这些特点是针对它的基础学科算术而归纳出来的：,1、算术主要研究数的运算，而代数则是研究数和文字的运算。,2、算术主要研究常量的问题，而代数则是研究变量的问题。,3、算术所研究的内容一般具有表面性和局限性，而代数研究的内容则具有深层性和普遍性。,例7. 末位是5的自然数，它的平方可以这样巧算：得数的末两位一定是25，将原来这个自然数除5以外剩下的数，乘上比这个数大1的数，所得的积写在25前面。例如：口算2525，先计算2（2+1）=6，再在6后面写25，得625。又如口算195195，先算19（19+1）=380，再在380后面写25，得38025。,在很多的算术书籍中都有记载这个巧算的方法，但要证明这个方法对于一切符合条件的数都成立，算术则是鞭长莫及，只能靠代数。这就体现了代数方法的深层性和普遍性。,例8. 小学教材中，哪些教学内容属于代数的范畴？,1. 用字母表示数（包括表示数、表示数量关系、表示公式、表示恒等式等）,2. 方程与方程思想,3. 比例,1-4数论 1. 数论是专门研究