概率论例题讲解

1、.,例题讲解,.,.,.,.,.,.,.,.,.,0.5,1,y=F(x),.,3-3 设一个口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个相同的球，从口袋中任取一个球，取得的球上标有的数字X是一随机变量，求X的分布函数。,.,.,.,.,.,u,.,.,u,-0.5,1,(x , y),v,.,八、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解：虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X

2、=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5 选答案(2),.,九、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y), 则X, Y必有 . 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 X,Y不相关。,.,十、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X与Y的相关系数r = -0.5 由契比 雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满 足不等式 P|X+Y|6c ) 解：E

3、(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12,.,十一、设nB(n, p). (0p1, n=1,2,)则对任意实数x，有 解：,.,十二、(习题5-2) 设服从几何分布 P(=k) = pqk ( k=0,1,2, 0p1, q=1-p ) 求E, D 解：,.,.,十三、(习题5-5) 证明：当t=E时，g(t)=E(-t)2最小，这个最小值是D 解：g(t)=E(-t)2 =

4、 E(2-2t+t2) = E2-2tE+E(t2) = E2-2tE+t2 = E2-(E)2+(E)2-2tE+t2 = D+(t-E)2D 当t=E时， g(t)=D是最小值.,.,十四 证明：在一次试验中事件A发生的次数的方差 D1/4 解： B(1, p),.,十五、(5-18) 设A和B是一次随机试验的两个事件， 有P(A)0, P(B)0, 定义随机变量为 试证：若的相关系数 r=0，则必相互独立。,.,.,十六、设是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。 解：,.,w的分布律为： w的分布函数：,.,十七 设随机变量和独立同分布, 且

5、 P( =k)=1/3, k=1,2,3 又设X=max(,), Y=min(,). 试(1) 写出(X,Y)的 联合分布律； (2) 求E(X) 解: (1) 由于=1,2,3, =1,2,3 所以，X=1,2,3; Y=1,2,3 当ij时，P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j) =P(=i, =j)+P(=j, =i) =P(=i)P(=j)+P(=j)P(=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时， P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j) =P(=i, =i)= P(=i)P(=i) =(1/3)(1/3)=1/9 当ij时， P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j)=0,.,(X,Y)的联合概率分布律： (2),.,十八、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求 (1) (X,Y)的联合分布律； (2) 求Y的分布律 解: (1) XP(), 当X=n时，YB(n, p) P(Y=k|X=n) = Cnkpk(1-p)n-k k=0,1,2,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0