排列组合及解决方法毕业论文

1、 本科生毕业论文题 目: 排列组合及解决方法 专业代码: 070101 作者姓名: 刘凯 学 号: 2012201059 单 位: 12级3班 指导教师: 张凤霞 2016年5月30日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目 录1、引言12、加法原理与乘

2、法原理2 2.1加法原理和乘法原理的概念2 2.2应用例题2 2.3加法原理和乘法原理的分类比较23、排列与组合3 3.1排列 3 3.1.1重复排列 3 3.1.2非重复全排列 4 3.1.3非重复选排列 5 3.2组合54、排列组合的解决方法5 4.1分类与分步6 4.2优先法 6 4.3捆绑法7 4.4插空法7 4.5排除法 8 4.6空位法9 4.7直排法9结束语 10参考文献 11致谢12摘 要概率论存在于生活中的点点滴滴，但他也是一门比较抽象的学科，学习的同时也锻炼了我们的抽象思维能力.本文总结了概率论中比较简单的排列组合问题.虽然简单但它却是学习概论的基础环节.首先是排列组合问题

3、的基础：加法原理和乘法原理.加以例题辅助理解.又将排列组合分类为：重复排列，非重复排列与组合，掌握了他们的概念和算法. 通过对例题分析着重讲解了解决排列组合的方法，包括分类与分步，优先法，捆绑法，插空法，排除法，空位法和直排法等. 学习排列组合的重点应放在理解和运用上.关键词：排列；排列分类；组合；方法abstractthe probability exists in the little drops of life.，but he is also an abstract subject, learning at the same time we also exercise the abili

4、ty of abstract thinking. this paper summarizes the relatively simple combinatorial problem in probability theory. although simple but it is the introduction to the basic link. the first is based on combinatorial problem: the addition principle and the multiplication principle make examples supportin

5、g understanding. and combinations are classified as: repeat array, non repeating permutations and combinations, grasp the concepts and algorithms of them. through the example analysis focused on the solution of permutation and combination, including classification and step by step, priority method,

6、binding method, interpolation method of elimination method and direct method, vacancy, etc. focus should be placed on the combination of understanding and use.key words: arrangement; arrangement classification; combination; method排列组合及解决方法1、 引言在大学里我们学习了概率论这门课，高中的时候我们已经简单的了解了随机事件，古典概型等简单的概率论内容。大学里进一步

7、的学习让我们更加深入地了解掌握了这门课的精髓所在。在不断的学习过程中我也发现概率论存在于生活中的点点滴滴。正如法国的著名数学家拉普拉斯说的:对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。而概率论的起源竟然是赌博。十七世纪时，法国的德梅勒赌30金币在对胜负的预测上，却又不知怎么分配，于是他求助于当时最有声望的数学家帕斯卡。帕斯卡经过和另一名数学家菲尔马的讨论研究，诞生了概率论这门新的学科。经过漫长的发展现在的概率论已经成为一门庞大的学科，并服务着这个世界。概率论是一门比较抽象的学科，学习的同时也锻炼了我们的抽象思维能力，思维的灵活性和敏捷性。首先来看，概率论有古典概率，几何概率，条件概率，

8、各种分布列等基本模型；以加法原理，乘法原理为规则；以非负性，规范性，可列可加性为基本性质；逆事件，差事件概率的计算公式，加法公式等为运算基础骨架。我们学习概率论的重点应放在理解和运用上。现在我们来讨论概率论中比较简单的排列组合问题。虽然简单但它却是学习概论的基础环节，在运筹学和统计学的学习中也需要它，还有日程的工作生活中更是密不可分。本文先展开排列组合的基础：分类计数原理（加法原理）和分步计数原理（乘法原理）.又了解了排列与组合概念. 先看排列排列的两个方面：重复排列和非重复排列，其中非重复排列又可以划分为：非重复全排列和非重复选排列.最后通过对例题分析着重讲解了解决排列组合的方法，包括分类与

9、分步，优先法，捆绑法，插空法，排除法，空位法和直排法等.2、加法原理与乘法原理 2.1 加法原理与乘法原理的概念在此之前，我们需要先掌握分类计数原理（加法原理）和分步计数原理（乘法原理）。加法原理和乘法原理是排列组合的基础，排列组合的学习离不开这两个基本原理。我们很早之前就学过了加法和乘法，现在学习的加法原理和乘法原理就是在之前学习的基础上展开的。线面我们通过几个例题来了解加法原理和乘法原理。 2.2应用例题例1.a地到b地，有两种交通方式，汽车和火车，火车一天有两班，汽车一天有四班，现在问如果用这两种交通方式从a地到b地共有多少种不同的方法？分析：如果坐火车有两种方法，坐汽车有四种方法，而且

10、这些方法各不相同，所以，有种不同的方法.这里用到的就是加法原理：如果完成一件事情，可以有种不同的方法，第一种方法有种，第二种方法有种，在第n类方法中有种解：那么完成这件事共有： 例2.从a地去b地必须要经过c地，a地到c地只有两班火车，再在c地到b地只有四班汽车，现在问从a地到b地共有多少种不同的走法？分析:从a地到c地有2种走法，c地到b地有4种走法，所以，共有种不同的走法.这里用的是乘法原理：如果完成一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法.解：完成这件事有： 种不同的方法由上面的例题我们来分析比较一下这两个原理：加法原理(分

11、类计数原理)：完成一件事一共有n类办法，且每种办法都是“互斥”的，也就是说每种方法都可以独立地完成这件事乘法原理(分步计数原理)：完成一件事分成n个步骤，是说每个步骤都不能单独的完成这件事，要把它们组合起来才可以完成.那我们来看什么样的情况用加法原理，什么样的情况用乘法原理:分类时，如果各类办法都是是相互排斥的，而且不论哪一种方法，都可以独立的完成这件事.只有这样，就可以用加法原理.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理公式分别为:

12、, 我们还可以把两个原理与物理中电路的串联、并联相类比：加法原理是并联，乘法原理是串联.如下题：例3.某班有男同学5人，女同学4人 （1）从其中任选一名同学去参赛, 有多少种不同的选法？ （2）从中任选男、女同学各一人去参加领奖，有多少种不同的选法？解：（1）根据加法原理，从学生中任选一人去参赛这件事，有2种办法。从男学生中任选一人， 共有种不同的方法； 从女学生中任选一人, 共有种不同的方法得到不同选法种数共有 种 （2） 根据乘法原理，完成从同学中任选男、女同学各一人去领奖这件事, 需分2步完成, 选一名男学生，有 种方法； 选一名女学生，有种方法； 得到不同选法种数共有 20 种总结:加

13、法原理与分类有关，乘法原理与分步有关；加法原理通过分类完成一件事情，里面的任意方法都可以单独的完成这件事；乘法原理通过分步完成一件事情，每个步骤中的方法都是相互独立的，每个步骤都完成才可以算是完成了这件事情3 、排列与组合3.1 排列从个不同元素中，任取个元素，并按按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出一个排列全排列是最基本一种排列，将一组数按照一定顺序进行排列，如果这组数有个，那么全排列数为个.现以1, 2, 3, 4, 5为例子它的全排列数为个.这里我们引入虚拟元素 排列数的计算公式：排列可以分为重复排列，非重复排列。这时需要引入概率论的一个重要概念：如果是放回抽样那就是重复排列；

14、如果是不放回抽样就是非重复排列.非重复排列又可以分为非重复完全排列和非重复选排列，下面分析这三种不同的排列方法.3.1.1 重复排列一组元素不完全不同，现将他们排列，这种排列叫做重复排列。例如中国的邮政编码为六位数，每一位都有的十种可能，总和起来就是有种可能。也就是说假设在个元素中选取个元素做重复排列就会有种可能性.我们通过一个例题来了解一下重复排列例4.有一组数1，1，2，2，2，3，3，3，现将它们排成一列数字，问有多少种不同的排列方法？解：分析：上面的问题中有相同的元素，现在要将它们排列归于重复排列的范围。 把相同的元素暂且当做不用的元素做全排列，有 种排法； 确定相同排列：满足条件的为

15、 由上面的例题我们可以推出，当一组元素中有则此重复排列的排列种数为 3.1.2 非重复完全排列 假设在个元素中取个元素进行有序排列，但是用过的元素后面不能再用了，这时有 .也就是说与重复排列不同的是非重复排列不能用之前已经用的元素.3.1.3 非重复选排列 在个元素中取个元素做有序排列,则有3.1.4 组合组合与排列最大的差别就在于组合不讲究次序而排列讲究次序.个元素中取个元素进行选排列，我们可以把它看做是先取了个元素组合，再对个元素进行全排列，即：于是可知总结上面的内容得到下表：4解决排列组合的方法我们知道排列组合出题一般都是综合来出的，这就需要我们把理论付诸实践，需要会做题，能掌握规律，熟练地运用规律.下面我们对解决排列组合问题的方法进行分类研究.4.1 分类与分步分类与分步差别的实质就是用加法原理或者用乘法原理来解决问题.通过例题来了解一下：例5.已知在书橱里有各不相同的书40