第6章2机械波

1、第六章 振动和波动,大学物理学,山西大学物电学院,Chapter 6. Vibration and Motion,波动(undulate)是振动(vibration)的传播过程，振动是产生波动的根源。激发波动的振动系统称为波源。 波动可分为两大类： 机械波(mechanical wave)：机械振动在媒质(或称介质)中的传播过程，如水波、声波等。 电磁波(electromagnetic wave)：变化的电场和磁场在空间的传播过程，如无线电波(radio wave)、光波(light wave)等。 机械波与电磁波本质上虽然不同，但都具有波动的共同特征和规律，例如都有一定的传播速度，都伴随着能

2、量的传播，都能产生反射、折射、衍射和干涉等现象。 因此本节只限于讨论机械波的特征和基本规律，并着重讨论简谐机械波，而复杂的波形可认为是由这些简谐波所组成。,6-4 机械波的产生和传播,学习要求,理解机械波的产生条件。掌握根据已知质点的振动表达式建立平面简谐波的波函数的物理意义，理解波形曲线。 掌握描述波动的各物理量（特别是相位）的物理意义以及各量之间的相互关系。 了解波的能量传播特征及能流、能流密度。 理解驻波及其形成的条件。 了解多普勒效应产生的原因。,一、波动图象,机械波产生的条件：弹性介质和波源。,弹性介质：是指由弹性力组合的连续介质。,机械波：机械振动在媒质中的传播。,振动方向与传播方

3、向垂直,振动方向与传播方向一致,注意：质元在自己的平衡位置附近振动，并不迁移。,波动：振动的传播(振动状态的传播)。,波源：激发波动的振动系统。,1. 波动性(wave character ),声波,0,(longitudinal wave ),(transversal wave ),2. 波的几何描述,波面：同位相各点所组成面(位相差为零),波前：离波源最远即最前方的波面,波线：表明波传播方向的线,在均匀且各向同性的媒质中 波线与波面始终是垂直的,球面波：波前为球面,平面波：波前为平面,3. 波的特征量,简谐振动具有时间周期性，用周期T、频率 和角频率 来描述。,波是振动在空间的传播，因此简

4、谐波不但具有时间周期性，还具有空间周期性。,(1) 波长 :,在同一波线上振动状态相同的点的最近距离。,或：在同一波线上相位差为2的两点间距离。,(2) 波的周期 :,波传播一个波长的距离所需时间。,(3) 波的频率 :,单位时间内通过传播方向上某一点的完整波的个数。 对于简谐波，波的频率即为各质元振动的频率。,(4)波速(相速) u：,单位时间内振动状态(或振动相位)所传播的距离,或：每个质元作一次完全振动(相位增加2)的时间。,E 杨氏弹性模量 固体的体密度,固体中,G 切变模量,G E u横波 u纵波,流体中的纵波,弦上的横波,T 绳的初始张力 弦的线密度,B 容变弹性模量 流体的体密度

5、,波速：波的传播速度取决于媒质的特性，对弹性波来说，取决于媒质的惯性和弹性。,波在各种媒质中的传播速度, = uT,波形曲线,波峰,波谷, = uT,波动图象,演示,质元并未“随波逐流”，波的传播不是介质质元的传播。各质点只在各自的平衡位置附近振动。 “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现波是振动状态的传播。 沿波的传播方向，各质元的相位依次落后，各质点振动频率相同，只是初相不同。,注意,振动是描写一个质点在平衡位置附近的来回运动。,波动是描写一系列质点在作振动。,6)振动与波动的区别,7)判断质点振动方向,5) 波的传播是波形的传播。

6、波源振动一个周期，波向前传播一个波形。振源完成一个全振动，完成一个完整的波形。,4. 波在空间传播的数学描述 波函数,将处在任意位置r的质元在任意时刻t的振动状态表示为,式中量(r,t)是描述波在空间传播的一个多元函数，通常称为波函数。, 可以表示各种各样的物理量，例如弹性介质中的形变、气体的压强、电场强度或磁感应强度等等。,5. 平面和球面简谐波的波函数(表达式),介质中各质元均作简谐振动，则相应的波为简谐波.,设一维简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在时刻t的波形可由原点处质元的振动表达式得到。,此即沿着 x 轴正向传播的平面简谐波的波函数(表达式)。它描述的是任意时刻t在波线上任意质元(坐

7、标x)作谐振动的位移。,坐标原点O处的振动位移为,在同一时刻t，距O点x处的P点的振动相位比O点落后， 因为P点开始振动的时刻比O点晚， 所延迟的时间就是波从O点传播到P点所经历的时间 t = x/u, 则P点的振动位移为,方括号中的量表示位于x处的质元在t时刻的振动状态，也就是波的相位；与波源相比，x越大，该处的相位落后得越多。,如果波沿x轴负向传播，则在同一时刻t，距O点x处的P点的振动比原点O处振动先开始 t = x/u 的时间, P点的位移为,在各向同性介质中，一个点波源所产生的是以此点波源为中心的球面波。球面简谐波的一般数学表达式为,其中“”会聚球面波，“”发散球面波。 r距离波源的

8、距离，A一般是r的函数。 当球面波远离波源时，在空间某一范围内，振幅基本保持不变，球面波就可看作平面波。,(1) x 一定，, x0处质元的振动表达式,O,x,P,波函数,讨论,(2) t 一定, t0时刻波线上各个质元的位移，即t0时刻的波形,t = t0时刻的波形曲线,(3) x, t 都在变化,波形以速度 u 传播,t,t + t,波函数描述的是波线上各个质元(坐标x)在不同时刻t作谐振动的位移。,在t时间内波形沿波线传播的距离： x= u t. 这种在空间传播的波称为行波。, (角)波数,(4) 平面简谐波的其它形式,( 5 ) 几种数学表达式波函数的比较,原点(波源)处：,距原点x处

9、：,平面波(沿x轴正向)：,平面波(沿x轴负向)：,发散球面波：,会聚球面波：,平面波和球面波：,(平面波，k 是常矢量；球面波，k是沿径向的常量。),(6) 建立简谐波表达式的步骤可归纳如下：,1) 根据给定的条件，写出波动在媒质中某点S（不一定是波源）的振动表达式；,2)建立坐标系，选定坐标原点，在坐标轴上任选一点P，求出该点相对于S点的振动落后或超前的时间；,3)根据在一定坐标系中波的传播方向，从S点振动方程中的减去或加上这段时间，即得到波动表达式。,注意：(1)振动已知的点、原点、振源的区别；,(2)波速不是质点振动的速度。,!,（1）T、u、传播方向; （2）波谷经过原点的时刻; （

10、3）t = 6s 时各波峰的位置.,解：(1) 比较法,传播方向：沿X轴负向,例 已知 SI, 求,t = 0时刻的波形曲线,波谷,（2）t = 0时刻,（3）t=6 s时刻,波峰,例 平面简谐波向右移动速度 u =0.08 m/s，t=0时刻的波形如图所示，求： 振源的振动方程；波函数； P 点的振动方程； a、b 两点振动方向。,解：振源,t = 0 时，O点处的质点向轴负向运动,振源的振动方程,波函数,对于P点,P 点的振动方程, a、b 振动方向，作出t 后的波形图。,例 波源振动方程为,它所形成的波以2.0m/s的速度在一直线上传播。求：, 距波源6.0m处的一点的振动方程；, 该点

11、与波源的相位差；, 该波的振幅、频率、波长。,解： 波函数：,该点与波源的相位差:,该波的振幅、波频、波长:,二、波动方程(wave equation),1.棒截面处的应力、应变关系,O,x,x +x,x,x,自由状态,t 时刻,(x,t),(x+x, t),x截面,x+x截面,x段的平均应变:,(x+x,t) - (x,t) /x,x处截面 t 时刻 : 应变为 /x ，应力为 F/S,应力 、应变关系,若一维纵波沿一根截面积为S、密度为 的均匀细长直棒传播，则棒中各质元将不断被拉伸和压缩。,即,2. 波动方程,dx,x+dx,截面S,将应力、应变关系代入,此即沿棒传播的一维纵波的波动方程.

12、,( 3 ) 由简谐解的微商导出波动方程,一维简谐波,则只要求出 对t和x的二阶偏导数，即可得一维波动方程为,比较,则得在密度为、杨氏模量为E的介质中传播的纵波的波速为,同理，可得在介质中传播的横波的波速为,三、 波的能量,波的能量 振动动能 形变势能,1. 弹性波的能量,(以细长棒为例),动能,势能,在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随着能量的传递。,设在棒中传播的一维简谐波为,考虑任一点x处质元 dm =dV ，则,而,，则,，其总机械能为,2. 波的能量密度,波的平均能量密度,单位体积介质中波的能量,在平面简谐波的传播过程

13、中，介质内任一质元在任何时刻的动能和势能均相等，它们与总能量一起，都随时间作同相位的周期性变化。 在波的传播过程中，介质内任一质元都在不断地从前一质元接收能量，又向后一质元传递能量。波的传播就是一种能量的传递方式，而介质本身并不作任何长程运动。,wk、w p均随 t 周期性变化,(1) 固定x,w k = w p,(2) 固定t,wk、w p随x周期分布, =0 w k w p最大, 最大 wk w p为 0,o,T,t,wk,wp,x = x0,wk动能密度,w p势能密度,wk,wp,t = t0,(1/4) 2A2,(1/4) 2A2,结论：,3. 能流(能通量)、波的强度,（1）能流(

14、能通量),单位时间内通过垂直于波传播方向的某一面积的能量。,平均能流,（2）能流密度,垂直于传播方向的单位面积的能流,S,平均能流密度，能流密度的时间平均值。,对平面简谐波，能量密度,w = 2A2sin2( t-kx),波的强度,单位：,对于声波和光波，我们分别称波的强度为声强和光强。 能流密度是一矢量，常称为坡印亭矢量，其方向是波速的方向。,可见，波的强度与振幅的平方成正比。,1)平面简谐波沿 x 方向传播，若媒质不吸收能量，则,2)对于球面波，若媒质不吸收能量，则,则,则,取r1=1m，A1=A0,则据波源r处，,故,(1)声波机械纵波,可闻声波 ：20 Hz 20000Hz,次 声 波

15、 ： 20Hz,超 声 波 ： 20000Hz,1.声波,四、声波及超声波的生物效应,(2)声强声波的能流密度,(3) 声强级,单位： 分贝(dB),引起听觉的声波的声强范围：10-12 w/m21 w/m2 (相差12个数量级),定义：,以1000 Hz 时的声强作为基准声强 I0:,在合唱中，一般分四个声部，这四个声部的音域(频率范围)分别是： 女高音246.9Hz987.8Hz，女低音164.8Hz659.2Hz； 男高音110Hz440Hz，男低音73.4Hz293.7Hz。 深沉的男低音发出的最低音的频率可达65.4Hz; 花腔女高音发出的最高音的频率可达1177.2Hz。,2. 超

16、声波与次声波及其生物效应,超声波特点：频率高、波长短、衍射不严重,1)定向传播特性,探测水中物体、工件内部缺陷 、B超,2)穿透本领大,3)次声波 (亚声波）,与地球、海洋及大气的大规模运动有关。如火山爆发、地震、大气湍流等都有次声波产生。,特点：频率低、能量损失少。,五、波的衍射和干涉,1. 惠更斯原理,球面波,平面波,媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的子波源 (点波源)。,在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前 。,2.波的衍射,当障碍物的线度接近波的波长时，衍射现象尤其显著。,衍射：波能绕过障碍物的边缘继续前进的现象.,3. 波的干涉,1)波的叠加原理,

17、在各个波重叠处，质点的振动位移是各个波单独存在时，在该点引起振动位移的矢量和。,2)波的干涉,现象：几列波叠加时产生强度的稳定分布.,波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定。(相干波),P点,S1：,S2：,相位差：,合振幅：,强度：,(强度最大)干涉相长,(强度最小)干涉相消,时，波程差:,干涉相长,干涉相消,当,当,6-5 驻 波,一、驻波的形成和特点,选取两列波共同的坐标原点和计时起点，则它们的波函数,驻波(standing wave)：一种特殊的干涉现象，可由振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加而成。,1) 驻波表达式(驻波方程),则合成波,振幅因子,简谐振动因子,各质元都

18、以同一频率作简谐振动，但是不同质元的振幅随其位置x作周期性变化.,波腹处,波节处,相邻波腹或相邻波节间的距离：,2) 特点,振幅：,与x有关，各处大小不等，出现了波腹和波节.,相位：相位中没有x坐标，没有相位的传播,可见，上述振动的特点之一是分段振动，没有振动相位和振动状态的传播，也没有能量的传播，所以称之为驻波。,能量：两列分波的合能流密度为,相邻波节间各点的振动同相，而波节两侧各点的振动反相。,称介质1为波疏介质；,介质2为波密介质。,介质1,介质2,二、半波损失,在均匀介质中沿直线传播的波在遇到另外一种介质时，会发生反射和折射现象。 特性阻抗(波阻)：介质密度 和波在介质中的传播速率u的

19、乘积,若,1)半波反射：如果波从波疏介质到波密介质传播，被波密介质反射回来，(例如，波被墙体反射，绳子上的波在固定端被反射),（波密介质） 墙体,y,y,在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波位相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变 ，相当于损失了半个波后再反射，称为半波损失。,叠加后的波形,反射波,入射波,2) 全波反射：当入射波波线近似垂直于界面时，如果波是从波疏介质反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射波的相同(相长干涉, 波腹)。(如绳子上的波在自由端反射),在反射端形成波腹,在反射端入射波和反 射波位相相同，无半波损失。,（波疏介质） 自由端,y,叠加后的波形,反射

20、波,入射波,y,d,它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程，波节及波腹的位置。,y,P,入射波,O,x,例 如图，设波源(在原点O)的振动方程为：,解：,在 P 点反射，有半波损失:,x,u,驻波方程：,波腹：,波节：,三、 两端固定的弦中的驻波,如果在一根两端固定张紧的弦中激起横向振动，则经两端反射后会形成两列反向行进的波，它们叠加后将形成驻波。 1) 由于弦的两端应为波节，所以只有半波长整数倍正好等于弦长l 的那些振动，才能以显著的强度在弦中激发起来，即,在两端固定的弦中激发的驻波的波长和频率分别为：,基频,n次谐频,弦的基频和谐频都称为弦的简正频率或固有频率，它们对应的驻波称为弦

21、的简正模或固有振动。,例 在用共振法测量空气中声速的装置中，把以频率 振动着的音叉置于管的开口端，管中空气柱的长度 l 可用其插入水中的深浅来调节。当水面由管的顶端逐渐下降到使l=a时，声音的强度第一次达到最大值；此后，当管中的水面相继下降到使 l=d+a, 2d+a,时，声音的强度第二、第三次达到最大值。如果用 = 1080 Hz的音叉测得d =15.3 cm，试求空气中的声速。,解 当声音的强度出现极大值时，表示音叉频率与管内空气柱的固有频率相同而发生共振。 空气柱的下端是空气(波疏介质)与水(波密介质)的界面，声波在此处被特性阻抗较大的介质反射，有半波损失，共振时必为波节。在空气柱的上部

22、开口端，情况却与此相反，因此空气柱的开口端在共振时必为波腹。,在第一、二、三次出现声强极大时，相应驻波的波形分别如图(b)中的三个图形所示，有：,则空气中的声速为,6-6 多普勒效应,由于波源和观察者相对于媒质运动，而使观察者所接受到的波的频率，不同于波源所发出的频率的现象。,？！,的 的 的,( 1 ) 波源静止，观测者相对于介质运动,观测者以速率vo 向波源运动，相当于波以速率 u+vo通过观测者，因此,多普勒效应(Doppler effect)：波源S或观测者O的运动造成观测频率与波源频率不同的现象。,O,S,参考系 : 介质，波速：u,符号规定 : S和O相互靠近时 , , 为正。,假定在波源和观测者相对于介质静止时，测得的频率为 ，则有,(波源频率),当,当,( 2 ) 观测者静止，波源相对于介质运动,当波源静止时，波长 =uT； 当波源运动时，观测者看来，波在一个周期内所走过的距离应为,则,S,O,当,当,( 3