《概率论》2第3章§3.3-多维随机变量及其分布---副本

1、联合分布函数：,二维联合分布函数：,二维分布函数 的性质：,对 或 都是单调不减函数；,对 或 都是右连续的：,有,的边际分布函数（简称边际分布）：,的边际分布函数：,二维连续型随机变量的联合分布函数及联合概率密度函数,密度函数的本质特征,二维随机变量密度函数的性质,在 的连续点 处，有,设 是平面上的某一区域，则,几何意义：曲顶柱体的体积.,区域 G 的面积.,矩形区域：,化为累次积分：,矩形区域：,化为两个单积分乘积：,的边际分布函数：,相应的边际分布密度：,的边际分布函数：,相应的边际分布密度：,例 3.7,设二维随机变量 的概率密度为,其他,(1) 确定常数 ；,(2) 求分布函数 ;

2、,(3) 求边际分布函数及相应的边际密度；,(4) 求 落在区域 内的概率.,(4) 求 落在区域 内的概率.,先对 积分:,1)将区域投影到y轴，投影区间为,2)在区间 上任取一点y，过y点做平行于x轴的直线穿过区域 得左右两个交点分别为 ，则,(4) 求 落在区域 内的概率.,(4) 求 落在区域 内的概率.,先对 积分:,1)将区域投影到x轴，投影区间为,2)在区间 上任取一点x，过x点做平行于y轴的直线穿过区域 得上下两个交点分别为 ，则,(4) 求 落在区域 内的概率.,离散型随机变量与连续型随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,均匀分布:在区间a,b上等可能投点,设G是平面上的

3、一个有界区域，其面积为A,相应的密度函数是多少,二维连续型随机变量的均匀分布,设 的联合分布是G区域上的均匀分布，D是其子区域，那么点落在子区域D上的概率？,如果随机变量 的密度函数为,其中参数 则称 服从参数为 的,正态分布,二维连续型随机变量的正态分布,一维连续型随机变量的正态分布密度函数,密度呈现“中间大，两头小”,记为,二维正态分布,若二维随机变量 的联合概率密度函数为,其中各参数满足,的两个边际分布密度：,记为,二维正态分布,若二维随机变量 的联合概率密度函数为,其中各参数满足,二维正态密度的图形,固定 x ,截面曲边梯形面积,边际分布密度与联合密度中 的无关,前4个参数的意义很明确

4、。 是刻画与间线性相关程度的一个数字特征。,说明边际分布不能唯一决定它们的联合分布（与离散型一样）.,两个边际分布都是正态分布的二维随机变量的联合分布不仅是不唯一确定的，而且还可以不是一个二维正态分布.,例3.9 设,可以作为一个二维随机变量 的联合概率密度函数，显然这样的二维随机变量不是一个二维正态分布.,作业：p189 3.17、 3.18（1）、（4）,独立性,设 的联合分布列为,则 相互独立.（取值互不影响）,如果,注意：可以是离散型也可以是连续型.,设 为二维连续型随机变量，则 相互独立的充要条件为 。,二维连续型随机变量的独立性,证明：充分性：,必要性：,二维正态分布,的联合概率密度函数为,结论,相互独立的充要条件是,证明：必要性,如果 相互独立，则显然有,充分性 如果 ，则,所以 相互独立.,相互独立的充要