概率论与随机过程----第一讲

1、2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,1,概率论与随机过程,唐碧华 学时数：60 教材：王玉孝，概率论与随机过程，北京邮电大学出版社 参考书： 陆大琻，随机过程及其应用，清华大学出版社 林元列，应用随机过程，清华大学出版社 刘嘉焜等， 应用随机过程，科学出版社 严士健等，测度与概率，北京师范大学出版社,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,2,教学安排,上课时间共16次 9月13、20、27日 10月11、18、25日 11月1、8、15、22、29日 12月6、13、20、27日 1月3日 考试时间：拟定1月17日或19日 电子讲稿网址： 20

2、/教学园地栏,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,3,概率论与随机过程,知识从哪里来? 必然性、偶然性 知识是什么? 概率论与随机过程：随机性、变化过程 知识到哪里去? 如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信中的实际问题？ 举例说明 .2004应用举例.ppt,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,4,第一章 概率空间,首先，回顾初等概率论的一些基本概念： 随机试验 ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间随机试验 所有可能的结果组成的集合。 样本点 中的元素。 随机事件样本空间的子集合，称为事件。 基本事

3、件中每个样本点所构成的单点集。 必然事件本身。 不可能事件不包含任何元素的空集合。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,5,第一章 概率空间,概率的定义若对 的每一个事件A，有一个实数与之对应，记为 ，且满足： （非负性） （归一性） 若事件 两两互不相容，则有 （可列可加性） 称 为事件A的概率,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,6,第一章 概率空间,在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间的子集，即 ，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都是一个随机事件？（举例说明） 若把 看作集合A的函数，那么象高等数学里的普通函数一样，我们必须考虑A在什么范围内， 才有定义？这

4、是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的集合，称为集合类或事件体，记作 。 的结构？在上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主要问题，为此我们必须引入测度论的概念。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,7,第一节 集合代数和-代数,一、集合代数和-代数 定义1.1.1 设是任一非空集合， 是由的一些子集组成的非空集合类，若满足： ； 若A ，有 （余运算封闭）； 若 ，有 （有限并运算封闭）； 则称是上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,8,定理1.1.1 设是由的一些子集组成的非空集合类，则：

5、是由的集代数 是包含且对余运算和有限交运算封闭； 是由的集代数 是包含且对差运算封闭。 证明可简单阐述。 例1.1.1 设=R，则： 则为集代数。,第一节 集合代数和-代数,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,9,第一节 集合代数和-代数,定义1.1.2 设是任一非空集合， 是由的一些子集组成的非空集合类，若满足： ； 若A ，有 （余运算封闭）； 若 ，有 （可列并运算封闭）； 则称是上的一个-代数。 定理1.1.2 设是-代数，则： 定是集代数； 若 ，有 （可列交运算封闭）,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,10,第一节 集合代数和-代数,设是一非空集合， 是由的一切子

6、集组 成的集合类，则 是一个-代数。 若 ，且 ，则集合类 是一个-代数。 显然，集代数的交仍是集代数； 代数的交 仍是-代数。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,11,第一节 集合代数和-代数,二、包含某一集合类的最小-代数 是由的一些子集组成的非空集合类，那么至少存在一个-代数包含 。为什么？ 由于 是一个-代数，且 。 是否存在最小的-代数？若存在，是否唯一？,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,12,第一节 集合代数和-代数,定理1.1.3 设是任一非空集合， 是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的-代数0，满足： 0； 对包含的任一-代数，有0 证明：作*所有

7、包含的-代数的交，下面说明这样构成的 *即为包含的最小的-代数。由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于-代数的交仍为-代数，所以*为包含的-代数。 由构造，则可知其最小性。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,13,第一节 集合代数和-代数,定义1.1.3 称定理1.1.3中的0是包含的最小-代数，或 者是由生成的-代数，记为()。 例1.1.2 设 ，且 ，则包含A的最小 -代数为 。 三、Borel域 设 ，考虑由 的一些子集组成的集合类： ，称()为 上的Borel域， 记为(1) ，并称(1) 中的元素为一维的Borel集。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,14,第

8、一节 集合代数和-代数,推广情形：设 为n维实数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类： 称()为 上的Borel域，记作（n） 。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,15,第一节 集合代数和-代数,四、单调类和-系、-系 实际问题中要检验一个集合类是否为-代数比较困难，但把集代数与单调类结合起来讨论，会使问题简化。 定义1.1.4 设由的一些子集组成的非空集合类，且满足： 1. 若 若 称是上的一个单调类。 容易证明，单调类的交仍是单调类。,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,16,第一节 集合代数和-代数,定理1.1.4 设是任一非空集合， 是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的 上的单调类 ，满足： 对包含的任一单调类，有 称这样的单调类 为包含的最小单调类，记为 （） 定理1.1.5 -代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是-代数。 证明：若 因是集代数，故 ,2020/9/3,北京邮电大学电子工程学院,17,第一节 集合代数和-代数,定理1.1.6 若是集代数，则： ()= () 证明：-代数一定是单调类，则() () 因此只须证明 ()是一-代数。