三重积分的计算及重积分的应用

1、二、三重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,P183 题7,练习题,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183 题8(3),三重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性简化计算

2、,3. 消去被积函数绝对值符号,1. 积分区域关于坐标面的对称性.,2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.,利用对称性简化三重积分的计算：,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,P182 题1(1),设有空间闭区域,则有（ ）,例1,解,典型例题,例2,解,利用球面坐标,例3,解 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,第四节,一、立体体积,三、物体的质心,重积分的应用,第十章,四、物体的转动惯量,二、曲面的面积,五、物体的引力,二重积分的元素法,将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：,若要计算的

3、某个量U对于闭区域D具有可加性：,并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y) d的形式，其中(x,y)在d内。,f(x,y) d称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：,（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），,一、立体体积,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V .,例1. 求曲面,分析:,第一步: 求切平面 方程;,第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D ;,第三步: 求体积V .

4、,(示意图),任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V .,解: 曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xOy 面上的投影为,(记所围域为D ),在点,例1. 求曲面,例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、曲面的面积,曲面方程：,D:有界闭区域,求曲面的面积 A,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,(见P99),故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则

5、有,且,曲面面积,其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域,求曲面面积的步骤：,（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D,（2）在区域D上计算二重积分：,同理可得,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,解：,球冠在 xoy 面上的投影区域：,半球面面积：,球面面积：,投影区域：,所求曲面：,作业,P155 10 P175 1，2，3,习题课,三、物体的质心,三、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “分割，近似，求和，取极限” 可导出其质心,将 分成

6、 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,同理可得,则得形心坐标：,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的 静矩, 对 y 轴的 静矩,例5. 求位于两圆,和,的质心（形心）。,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,柱面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,例6.,.,四、物体的转动惯量,设平面有n个质点,该质点系的转动惯量,第k个质点的位置,质点系的转动惯量,质量,平面薄片的转动惯量,Th

7、e Moment of Inertia of a Lamina,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,空间有界闭区域上物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域

8、为,(用球坐标),五、物体的引力,G 为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点,的引力分量,因此引力分量为,则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为,即可. 例如,其中:,例9.,设面密度为 ,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,例10. 求半径为R的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,作业,P175 5，7（1,3），11，14,习题课,1.