自动控制理论-13根轨迹法

1、第四章 根轨迹法,控制系统,4.1.2 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,式中， 为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益，它们之间相差一个比例常数,设控制系统如图所 示，闭环传递函数为,反馈通路传递函数可表示为,为反馈通道的根轨迹增益。于是，系统的开环传递函数可表示为,为开环系统根轨迹增益。它与开环增益K之间的关系相差一个比例常数。,对于有m个开环零点n个开环极点的系统，必有,比较开、闭环得,(1) 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。,(2) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于

2、单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。,(3) 闭环极点与开环零点、极点以及根轨迹增益 均有关,根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定。,所以我们可得到根轨迹方程为,考虑到,因此，根轨迹方程可用如下两个方程描述,闭环系统的特征方程为,三.根轨迹方程,此乃：相角方程和模值方程。相角方程是确定s平面上根轨迹的充要条件。,判断根轨迹 直接应用相角方程可判断。举例说明。设开环传递函数为,为了判断根轨迹，可以在s平面上任取s1点，画出从各开环零、极点到s1点的向量，然后根据相角方程检验s1点是否属于根

3、轨迹上的点。即若下式成立,那么，s1是根轨迹上的一点，其对应的根轨迹增益可按模值方程算出.,式中，B.C.D代表各开环极点到s1点的向量模值，E代表 向量 的模值。,模值方程和相角方程是用图解法求系统特征根的基本关系式，它表明当s 平面的点在同时满足这两个条件时，此点就是所研究系统在给定参数值下对应的特征根.,当系统的参数k从零到无穷大变化时，所有满足相角方程的点所构成的图形就是根轨迹图。然后，根据模值方程定出这些点所对应的参数K值。 参数k可以是系统的开环增益，也可以是其它开环参量。,模值方程与相角方程的应用,=0.466 n=2.34,s1=-0.825 s2,3= -1.09j2.07,

4、-1.09+j2.07,2.26,2.11,2.072,K*=,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,Li,3.826,i,39.9,1.826,68.3,5.576,147.9,1.826,13.826,21.826,111.7,160.3,164.4,一 根轨迹的分支数：等于开环特征方程的阶数n，与开环极点个数相同。,证明： 采用理论归纳论证,根轨迹是根的轨迹，有多少闭环根就有多少轨迹，因此分支数与闭环根数目一致。根据根轨迹方程，特征根个数就等于n。,闭环特征方程中的系数是K* 的函数，因此K* 做连续变化时，这些系数也随之改变，导致闭

5、环根的变化是连续的。,4-2 绘制根轨迹的基本法则,二 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,三 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹趋于无穷远处。,证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则是指 的根轨迹。设系统开环传递函数为（4-13），则闭环系统的特征方程式为,式中 可以从零变到无穷。当K*=0时，有,说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极点，所以根轨迹必起于开环极点。,将特征方程改写成如下形式,当 时，可得,所以根轨迹必终于开环零点。,实际系统中， ，因此有 条根轨迹的

6、终点将在无穷远处。当 时，,具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点。,四 实轴上的根轨迹 实轴上某一区域，其右方实轴上开环系统零点数和极点数的总和为奇数，则该区域必是根轨迹。,证明：如右图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点对实轴上任一试探点s构成的两 向量的相角之和在任何情况下都等于0，即,s左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0,s右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180,180满足根轨迹方程的相角方程。故实轴上的点若在根轨迹上，其右方实轴上的开环零点和极点之和必为奇数。,例1 设系统开环传递函数为,判断实轴上的根轨迹区间。,解 系统的

7、开环零点为 ，开环极点为-1，-5，-20以及原点（两重根）。如图所示。,区间20，5右方的开环零点数和极点数总和为5，区间1，0.5右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根轨迹在上述区间内。,证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得,五 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数n大于有限零点数m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 ，交点为 的一组渐近线趋向无穷远处,式中,当 时，上式可近似为,令,得渐近线方程,根据二项式定理,当 时，近似有,直线方程,例2.设控制系统如图所示，其开环传递函数为,画出渐近线。,由法则5，有 条根轨迹

8、渐近线，它们的交点为,各渐近线与实轴的交角分别为,六、根轨迹的起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴方向的夹角,称为起始角,以 表示，见图4-10 ；根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴方向的夹角，称为终止角，以 表示，见图4-10,在右图所示的根轨迹上取一试验点 ，使 无限地靠近开环复数极点 ,即认为 ,则这时 ，依据相角方程有,=,同理可得,=,例3,设系统开环传递函数,试计算起始角和终止角。,解 板书,七、根轨迹的分离点坐标d,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。,分

9、离点的坐标d可由下面方程求得,一般采用极值法求分离点坐标,闭环系统特征方程为,设,且,联立二式，消去K*，得：,从这个公式中解得的s就是所求的分离点。,也可采用下式,本题的实轴根轨迹区间为 和 ，因s2不在根轨迹区间，所以分离点必落在 s1处。,例4 设控制系统的开环传递函数为：,求根轨迹在实轴上的分离点。,解：用极值法求,本题中,故,代入,有,解之得,八、分离角与会合角,所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。 分离角计算公式,仅限实轴分离角,九、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴相交，交点对应的 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而

10、求得。,证明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 值。,此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的 值。如果根轨迹与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采用劳斯表中大于2的 偶次方行的系数构造辅助方程。,确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将 代入闭环特征方程，得到,令上述方程的实部和虚部分别为零，有,和,从而可求得 值和 值。,解 控制系统的特征方程是,例5 求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值K*,将 代入上式，得,根轨迹与虚轴的交点坐标为,将 的值代入实部方程得K*=6,当K*6时，系统将不稳定。,例6 负反馈系统的开环传递函数 试作K(由0)变化的系统闭环根轨迹。,解：,开环极点：p1=0，p2= -1，p3= -2 无开环有限零点。,(2) n = 3 ，根轨迹有3条分支；,(3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3 K 时，皆趋于无穷远处；,(4) 实轴上的根轨迹