ch3-3 不定积分的换元法

1、2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第3章 一元函数积分学及其应用,第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,第3节 两种基本积分法,3.1 换元积分法 3.2 分部积分法 3.3 初等函数的积分法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,换元法则(II）,换元法则(I),基本思路,设,可导,则有,3.1 换元积分法,1. 换元法则(I)-第一类换元法,定理3.1,则有换

2、元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),说明,使用此公式的关键在于将,化为,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,第一类换元法解决的问题,难求,易求,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,例1 求,解: 令,则,故,原式 =,注 当,时,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,解, 原式 =,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,例2 求,解:,令,则,想到公式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,解,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,例3 求,想到,解:

3、,(直接配元),2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,以下是最基本且经常会遇到的结果:,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,例4 求,解（一）,解（二）,解（三）,观察重点不同，所得结论不同.,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,例5 求,解,类似,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,例6. 求,解: 原式 =,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,例6. 求,解: 原式 =

4、,例7. 求,解: 原式 =,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,例8. 求,解法1,解法2,两法结果一样,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,例9 求,解法1,解法 2,同样可证,(P196 例3.4 ),2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,原式,提示:,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,2. 换元法则(II)-第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理3.2 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元

5、公式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,例10 求,解: 令,则, 原式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,例11 求,解: 令,则, 原式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,例12. 求,解:,令,则, 原式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,令,于是,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院

6、数学系,27,说明(2),被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,或,或,三角代换外, 还可利用公式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,说明(3),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,例14 求,解,令,（分母的阶较高）,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,说明(4),当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）,例15 求,解,令,2008年1

7、2月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,小结:,说明： 1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,（8）万能代换,（万能代换公式）,使用范围： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为,如，,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,例16 求积分,解,由万能代换公式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,2008年12月5日,南京航空航

8、天大学 理学院 数学系,37,2. 常用基本积分公式的补充,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,2. 练习,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,41,1.,解: 令,则,原式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,42,2.,解,原式 =,前式令,; 后式配元,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,43,3.2 分部积分法,由导数公式,积分得:,

9、分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,问题,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,44,例1 求下列不定积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,解,（再次使用分部积分法）,降幂法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,45,注意：降幂法适合应用于如下积分类型,为一n次多项式,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,46,例2 求下列不定积分,解,令,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,47,解,升幂法,注意：升幂法适合应用于如下积分类型,为一n次多项式,2008年12月5日,南

10、京航空航天大学 理学院 数学系,48,例3 求下列不定积分,解,循环法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,49,解,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,50,EX 求下列不定积分,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,51,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,52,注意：循环法适合应用于如下积分类型,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,53,例4 求下列不定积分,解,递推法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,54,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,55

11、,解,两边同时对 求导, 得,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,56,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环法;,递推法,降幂法;,升幂法;,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,57,第3节 两种基本积分法(续）,3.1(续） 定积分换元积分法 3.2（续） 定积分分部积分法,不定积分,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,58,3.1（续） 定积分换元积分法,2008年12月5日,南

12、京航空航天大学 理学院 数学系,59,证明,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,60,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,(3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,61,例1 计算,解,换元要换限 凑元不换限,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,62,例2 计算,解 令,则, 原式 =,且,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,63,例3 计算,解 令,则, 原式 =,且,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,64,证,2008年12月5日,

13、南京航空航天大学 理学院 数学系,65,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,66,证,（1）设,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,67,（2）设,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,68,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,69,例6,若f(x)是以T为周期的连续函数，对任意的a有,由此得，,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,70,3.2(续) 定积分的分部积分法,定理,则,证明,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,71,例1 计算,解,原式 =,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,72,例2 证明,n 为偶数,n 为奇数,证,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,73,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,74,例3 设 求,解,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,75,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,76,1、计算定积分,2、设,求,Ex.,2008年12月5日,南京航空航天大学 理学院 数学系,77,1、计算定积分,2、设,求