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文档简介

1、2020年9月4日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界,可把我们身边的现象划分为: 1.确定性现象:如水加温到100oC就沸腾,这种现象的规律 性靠经典数学去刻画; 2.随机现象:如掷筛子,观看那一面向上,这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象:如 “今天天气很热”,“小伙子很帅”,等等。 此话准确吗?有多大的水分?靠模糊数学去刻画。,2020年9月4日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点:模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪

2、论,2020年9月4日,3,产生,1965年,L.A. Zadeh(扎德) 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets,Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2020年9月4日,4,模糊代数,模糊拓扑,模糊逻辑,模糊分析, 模糊概率,模糊图论,模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择;,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、

3、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2020年9月4日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集,隶属函数,模糊关系与模糊矩阵,例如,给出不同地方的土壤,根据土壤中氮磷以及有机质含量,PH值,颜色,厚薄等不同的性状,对土壤进行分类。,2020年9月4日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型,给出一个具体的对象,确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如:苹果分级问题 苹果,有I级,II级,III级,IV级四个等级。 现有一个具体的苹果,如何判断它的级别。,2020年9月4日,7,3.模糊综合评判从某一事物的

4、多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如:某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂,教材熟练,生动有趣,板书清晰四方面 给出很好,较好,一般,不好四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化,引入隶属函数,从而导出一个新的线性规划问题,其最优解称为原问题的模糊最优解,2020年9月4日,8,模糊数学,2020年9月4日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2020年9月4日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2020年9月4日,11,其中,函数 称为集合A的特征函

5、数。,模糊集合及其运算,非此及彼,2020年9月4日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部, 则用1来记录, 若 x 位于 A 的外部, 则用0来记录, 若 x 一部分位于 A 的内部,一部分位于 A 的外部,,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2020年9月4日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2020年9月4日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小;,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大;,0.5,最具有模糊性,过渡点,2020年9月4

6、日,15,模糊子集通常简称模糊集,其表示方法有:,(1)Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2020年9月4日,16,(3)向量表示法,(2)序偶表示法,若论域U为无限集,其上的模糊集表示为:,模糊集合及其运算,2020年9月4日,17,例1. 有100名消费者,对5种商品 评价,,结果为:,81人认为x1 质量好,53人认为x2 质量好,,所有人认为x3 质量好,没有人认为x4 质量好,24人认为x5 质量好,则模糊集A(质量好),2020年9月4日,18,例2:考虑年龄集U=0,100,O=“

7、年老”,O也是一个年龄集, u = 20 A,40 呢?札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2020年9月4日,19,再如,Y= “年轻”也是U的一个子集,只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样,札德给出它的隶属函数:,1,0,25,50,U,B(u),2020年9月4日,20,则模糊集O(年老),则模糊集Y(年轻),2020年9月4日,21,2、模糊集的运算,定义:设A,B是论域U的两个模糊子集,定义,相等:,包含:,并:,交:,余:,模糊集合及其运算,2020年9月4日,22,例3.,模糊集合及其运算,则:,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1

8、,0.8,0.3,0.5,2020年9月4日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2020年9月4日,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2020年9月4日,25,几个常用的算子:,(1)Zadeh算子,(2)取大、乘积算子,(3)环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2020年9月4日,26,(4)有界和、取小算子,(5)有界和、乘积算子,(6)Einstain算子,模糊集合及其运算,2020年9月4日,27,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素:,模糊集合及其运算,

9、2020年9月4日,28,特点:在各次试验中, 是固定的,而 在随机变动。,模糊统计试验过程:,(1)做n次试验,计算出,模糊集合及其运算,2020年9月4日,29,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间,,问年龄 27属于模糊集A(青年人)的隶属度。,2020年9月4日,30,对年龄27作出如下的统计处理:,A(27) = 0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),2020年9月4日,31,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向:偏大型,偏小型,中间型。,例如:在论域 中,确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2020年9月4日,32,模

10、糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的,比如,此时有,不太合理,故改变,2020年9月4日,33,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2020年9月4日,34,3、其它方法,模糊集合及其运算,2020年9月4日,35,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如:,2020年9月4日,36,(1)模糊矩阵间的关系及运算,定义:设 都是模糊矩阵,定义,相等:,包含:,模糊集合及其运算,并:,交:,余:,2020年9月4日,37,例4:,模糊集合及其运算,2020年9月4日,38,(2)模糊矩阵的合成,定义:设 称模糊矩阵,为A与B的合成,其中 。,模糊集合及其运算,即

11、:,定义:,设A为 阶,则模糊方阵的幂定义为,2020年9月4日,39,例5:,模糊集合及其运算,2020年9月4日,40,(3)模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质:,2020年9月4日,41,(4)模糊矩阵的 截矩阵,显然,截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2020年9月4日,42,例6:,模糊集合及其运算,2020年9月4日,43,截矩阵的性质:,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2020年9月4日,44,(5)特殊的模糊矩阵,定义:若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义:若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩

12、阵。,模糊集合及其运算,2020年9月4日,45,模糊集合及其运算,定义:若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2020年9月4日,46,模糊集合及其运算,定义:若模糊方阵Q,S,A满足,则称 S 为 A 的传递闭包,记为 t (A)。,2020年9月4日,47,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2020年9月4日,48,模糊聚类分析,定理:,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义:将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵, 可以得到有限论域上的普通等价关系,而等价关系是可以分类的。因此,当在0,1上变动时,由 得到不同的分类。,2020年9月4日,4

13、9,模糊聚类分析,2020年9月4日,50,例6:设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2020年9月4日,51,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下:,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2020年9月4日,52,模糊聚类分析,2020年9月4日,53,例7:设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2020年9月4日,54,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2020年9月4日,55,(1)标准差标准化,模糊聚类分析,2020年9月4日,56,(2)极差正规化,(3)极差标准化,模糊聚类分析,2020年9月4日,57,、建立模糊相似矩阵(标定),(1)相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模

14、糊聚类分析,2020年9月4日,58,(2)距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2020年9月4日,59,(3)贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2020年9月4日,60,3、聚类并画出动态聚类图,(1)模糊传递闭包法,步骤:,模糊聚类分析,(2)boole矩阵法(略),2020年9月4日,61,(3)直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时,将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并,所有情况合并后得到相应于 的等价分类。, 依次类推,直到合并到U成为一类为止。,(4)最大

15、树法,(5)编网法,2020年9月4日,62,模糊聚类分析,2020年9月4日,63,解:,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2020年9月4日,64,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2020年9月4日,65,用平方法合 成传递闭包,2020年9月4日,66,取 ,得,模糊聚类分析,2020年9月4日,67,取 ,得,取 ,得,模糊聚类分析,2020年9月4日,68,取 ,得,取 ,得,模糊聚类分析,2020年9月4日,69,画出动态聚类图如下:,模糊聚类分析,2020年9月4日,70,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取1, 此时 为单位

16、矩阵,故分类自然为,x1,x2,x3,x4,x5。,取0.70, 此时,2020年9月4日,71,故分类应为x1, x3, x2, x4,x5。,x2, x4为相似类,取0.63, 此时,x2, x4, x1, x4为相似类,,有公共元素x4的相似类为 x1, x2, x4,故分类应为x1 , x2, x4, x3, x5。,2020年9月4日,72,取0.62, 此时,x2, x4, x1, x4, x1, x3为相似类,,有公共元素x4的相似类为 x1, x2, x3,x4,故分类应为x1, x2, x3,x4, x5。,2020年9月4日,73,取0.53, 此时,故分类应为x1, x2

17、, x3, x4 , x5 。,2020年9月4日,74,模糊聚类分析的简要流程:,2020年9月4日,75,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,(1) 按实际需要,调整 的值,或者是专家给值。,(2) 用 F - 统计量确定最佳值。,针对原始矩阵 X,得到,其中,,设对应于 的分类数为 r ,第 j 类的样本数为 nj ,第 j 类的样本记为:,2020年9月4日,76,则第j类的聚类中心为向量:,其中, 为第k个特征的平均值,作F - 统计量,模糊聚类分析,2020年9月4日,77,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一个,则可进一步考察,

18、差值 的大小,从较大者中选择一个即可。,其中,2020年9月4日,78,模糊模式识别,2020年9月4日,79,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下,判断识别对象属于哪个类型?对象也要数学形式化,有时数学形式化不能做到完整,或者形式化带有模糊性质,此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,2020年9月4日,80,在科学分析与决策中,我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理,分成若干类型,以便使用管理。当我们取到一个新的样本时,把它归于哪一类呢?或者它是不是一个新的类型呢?这就是所谓的模式

19、识别问题。在经济分析,预测与决策中,在知识工程与人工智能领域中,也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集;另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,2020年9月4日,81,例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级,级,级,级,显然,模型级,级,级,级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后,到底应将它放到哪个等级的筐里,这就是一个元素(点)对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2020年9月4日,

20、82,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状,由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病,胃溃疡,感冒,显然,这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的),由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程,也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2020年9月4日,83,点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型:设在论域 X 上有若干模糊集:A1,A2,AnF ( X ),将这些模糊集视为 n 个标准模式,x0 X 是待识别的对象,问 x

21、0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1,2, n ) ?,(2) 第二类模型:设 AF ( X )为标准模式,x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象,问最优录选对象是哪一个 xi (i =1,2, n ) ?,模糊模式识别,2020年9月4日,84,一最大隶属原则,最大隶属原则:,最大隶属原则:,模糊模式识别,2020年9月4日,85,模糊模式识别,2020年9月4日,86,例 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1:政治 x2:语文 x3:数学 x4:理、化 x5:史、地 x6:外语 考生为 y1,y2,yn,组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “

22、优秀”,是 Y 上的模糊集,A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下:,模糊模式识别,2020年9月4日,87,式中 i =1, 2, , n 是考生的编号,j =1, 2, ,6 是考试科目的编号, j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则,就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度(隶属度)来排序。 例如若令 1= 2= 3=1, 4= 5= 0.8, 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4,其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,2020年9月4日,88,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,2020年9月4日,8

23、9,则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为: y2, y4, y1, y3.,模糊模式识别,2020年9月4日,90,阈值原则:,模糊模式识别,有时我们要识别的问题,并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集(第一类模型),也不是已知一个模糊集,对论域中的若干元素选择最佳隶属元素(第二类模型),而是已知一个模糊集,问论域中的元素,能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物,这就是阈值原则,该原则的数学描述如下:,2020年9月4日,91,模糊模式识别,2020年9月4日,92,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y,其隶属度规定为 对于 x1 = 27 岁及

24、x2 = 30 岁的人来说,若取阈值,模糊模式识别,2020年9月4日,93,1 = 0.7,,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。,则因 Y(27) = 0.862 1,,而 Y(30) = 0.5 1 ,,故认为 27 岁的人尚属于“青年人” ,而 30 岁人的则不属于“青年人” 。,若取阈值 2 = 0.5,,则因 Y(27) = 0.862 2,而 Y(30) = 0.5 = 2 ,,2020年9月4日,94,模糊模式识别,集对集,例如:论域为“茶叶”,标准有5种 待识别茶叶为B,反映茶叶质量的6个指标为:条索,色泽,净度,汤色,香气,滋味,确定 B

25、属于哪种茶,2020年9月4日,95,在实际问题中,我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度,前者反映两个模糊集的差异程度,后者则表示两个模糊集相互接近的程度,这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x,而是模糊集 A,已知的模糊集是 A1, A2, , An,那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)?就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题,就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,2020年9月4日,96,1. 距离判别分析 定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基

26、) 距离 (P1): ) 当 X = x1, x2, , xn 时, ) 当 X = a, b 时,,模糊模式识别,2020年9月4日,97,特别地, p=1 时,称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。 p=2 时,称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见,须限制模糊集的距离在 0, 1中,因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ,相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,2020年9月4日,98,(2) 相对 Hamming 距离,模糊模式识别,2020年9月4日,99,(3)

27、 相对 Euclid 距离,模糊模式识别,2020年9月4日,100,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0,此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件: 当 X = x1,x2,xn 时,有 当 X = a, b 时,有 加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,2020年9月4日,101,加权 Hamming 距离定义为 加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,2020年9月4日,102,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地,问 B、C 两地哪里最适宜? 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件,因而 A、B、C 三地的情况

28、可以表示为论域 X = x1 (气温),x2 (湿度),x3 (土壤) 上的模糊集,经测定,得三个模糊集为,模糊模式识别,2020年9月4日,103,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C ),说明 A,B 环境比较相似,该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离,得,2020年9月4日,104,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知,模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A,B F (U),称,为 A 与 B 的内积,称,为 A 与 B 的外积。

29、,2020年9月4日,105,比较,可以看出 AB 与 ab 十分相似,只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算,就得到 AB。,模糊模式识别,若 X =x1, x2, xn,记 A(xi) = ai,B(xi) = bi,则,与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积,2020年9月4日,106,例 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则,A B,模糊模式识别,2020年9月4日,107,例 设 A,BF (R),A、B 均为正态型模糊集,其隶属函数如图 3.33,模糊模

30、式识别,2020年9月4日,108,由定义知AB 应为 max( AB ) ,隶属度曲线CDE 部分的峰值,即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*,令,解得,于是,类似地,由于,故 A B=0。,模糊模式识别,2020年9月4日,109,模糊模式识别,表示两个模糊集A,B之间的贴近程度。,或 L( A,B) = ( AB) ( A B)C,2020年9月4日,110,C =,C =,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,2020年9月4日,111,模糊模式识别,2020年9月4日,112,模糊模式识别,2020年9月4日,113,二、择近原则,模糊模式识别,2020年

31、9月4日,114,模糊模式识别,例如:论域为“茶叶”,标准有5种 待识别茶叶为B,反映茶叶质量的6个指标为:条索,色泽,净度,汤色,香气,滋味,确定 B 属于哪种茶,B),,2020年9月4日,115,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,2020年9月4日,116,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,2020年9月4日,117,模糊综合评判,2020年9月4日,118,模糊综合评判,2020年9月4日,119,模糊综合评判,2020年9月4日,120,模糊综合评判,2020年9月4日,121,根据运算的不同定义,可得到以下不同模型:,模糊综合评判,2020年9月4日,122,

32、例如有单因素评判矩阵,则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18),2020年9月4日,123,模糊综合评判,2020年9月4日,124,模糊综合评判,2020年9月4日,125,其中:,模糊综合评判,2020年9月4日,126,实例:某平原产粮区进行耕作制度改革,制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有:粮食亩产量,农产品质量,每亩用工量,每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项,根据当地实际情况,这5个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表,2020年9月4日,127,经过典型调查,并应用各种参数进行谋

33、算预测,发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字,问究竟应该选择哪种方案。,过程:,因素集,权重,A(0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25),评判集,2020年9月4日,128,建立单因素评判矩阵:因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数,用模糊关系矩阵来表示。,2020年9月4日,129,2020年9月4日,130,2020年9月4日,131,2020年9月4日,132,2020年9月4日,133,二、多级模糊综合评判(以二级为例),问题:对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,2020年9月4日,134,二级模糊综合评判的步骤:,模糊综合评判,2020年9月4日,13

34、5,模糊综合评判,2020年9月4日,136,模糊综合评判,2020年9月4日,137,模糊综合评判,2020年9月4日,138,模糊综合评判,2020年9月4日,139,模糊综合评判,2020年9月4日,140,模糊综合评判,2020年9月4日,141,模糊综合评判,2020年9月4日,142,模糊线性规划,一、模糊约束条件下的极值问题,例:某人想买一件大衣,提出如下标准:式样一般,质量好,尺寸较全身,价格尽量便宜,设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择,经调查结果如表,问他应该购买哪一件大衣?,2020年9月4日,143,模糊线性规划,该类问题的解题过程:,2. 目标函数f(x)

35、模糊化,1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度,3.定义模糊判决:,加权型:,对称型:,4. 由最大隶属原则求出x*, 则x*为模糊条件极大值点。,2020年9月4日,144,解:将式样,质量,尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标G:,将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度,其中模糊目标,2020年9月4日,145,总约束集,模糊目标集,约束与目标对等时,用对称型模糊判决,由最大隶属原则,应该买x5.,2020年9月4日,146,如果要求价格更便宜,则放松约束,令a=0.4, b=0.6,加权型判决为,由最大隶属原则,应该买x1.,2020年9月4日,147

36、,模糊线性规划,实例: 采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容,其目的就是建立完善的矿井生产系统,实现采区合理集中生产,改善技术经济指标.因此,合理地选择最优巷道布置方案,对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用,在选择最优巷道布置方案时,要求达到下列标准: (1)生产集中程度高; (2)采煤机械化程度高; (3)采区生产系统十分完善; (4)安全生产可靠性好; (5)煤炭损失率低; (6)巷道掘进费用尽可能低. 上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题,我们可以把(1)(5)作为模糊约束,而把(6)作为目标函数. 设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择,

37、即,=,(方案),(方案),(方案),(方案),(方案),(方案).,2020年9月4日,148,模糊线性规划,经过对六种方案进行审议,评价后,将其结果列于表1,略,2020年9月4日,149,普通线性规划的一般形式为,目标函数,约束条件,矩阵表达形式,模糊线性规划,二、模糊线性规划问题,(1),2020年9月4日,150,模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化,引入隶属函数,从而导出一个新的线性规划问题,它的最优解称为原问题的模糊最优解.,普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的,但在一些实际问题中,约束条件可能带有弹性,目标函数可能不是单一的,可以借助模糊集的方法来处理.,2020年9

38、月4日,151,模糊线性规划,其模型为,为了体现这个近似小于等于,我们引入伸缩指标di ,2020年9月4日,152,模型又可写成,当,(2),2020年9月4日,153,模糊线性规划,2020年9月4日,154,模糊线性规划,2020年9月4日,155,模糊线性规划,2020年9月4日,156,模糊线性规划,2020年9月4日,157,模糊线性规划,2020年9月4日,158,模糊线性规划,2020年9月4日,159,模糊线性规划,2020年9月4日,160,实例1:饮料配方问题,某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三

39、种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示,若生产此种饮料一万瓶,如何选择原料成本最小?,2020年9月4日,161,多目标线性规划,在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划.,一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解.,模糊线性规划,2020年9月4日,162,例2 解多目标线性规划问题,模糊线性规划,2020年9月4日,163,解普通线性规划问题:,得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 =

40、 2, 最优值为2,此时 f 2 = 8.,模糊线性规划,2020年9月4日,164,解普通线性规划问题:,得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20,此时f 1 = 10.,模糊线性规划,2020年9月4日,165,的最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2, 此时 f 2 = 8. 的最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20,此时f 1 = 10.,同时考虑两个目标,合理的方案是使 f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为 d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要,可单独缩小d2.,2020年9月4日,166,再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题:,得最优解为 x1 = 6.29,

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