高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修2-3 .ppt

1、2.3.2 离散型随机变量的方差,1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义: 设离散型随机变量X的分布列为 方差D(X)=_. 标准差为_. (2)方差的性质:D(aX+b)=_.,a2D(X),2.两个常见分布的方差 (1)若X服从两点分布,则D(X)=_. (2)若XB(n,p),则D(X)=_.,p(1-p),np(1-p),1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.() (2)若a是常数,则D(a)=0.() (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.(),【解析】(1)错误.离散型随机变量的方差越

2、大,随机变量越不稳定. (2)正确.因为E(a)=a,所以D(a)=0. (3)正确.由离散型随机变量的方差的几何意义可知,其反映了随机变量偏离于期望的平均程度. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和 D(X)分别为. (2)设随机变量B ,则D()=. (3)如果X是离散型随机变量,Y=3X+2,那么D(Y)=D(X).,【解析】(1)因为X服从两点分布, 所以X的概率分布为 所以E(X)=00.5+10.5=0.5, D(X)=0.520.5+(1-0.5)20.5=0.25. 答案:0.5和

3、0.25,(2)因为随机变量B , 所以D()= 答案: (3)由于X是离散型随机变量,Y=3X+2呈线性关系,代入公式,则 E(Y)=3E(X)+2,D(Y)=32D(X)=9D(X). 答案:9,【要点探究】 知识点 方差、标准差的定义及方差的性质 1.对随机变量X的方差、标准差的五点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度.,(3)D(X)越小,随机变量X的取值就越稳定,波动就越小. (4)标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应 用更广泛. (5)方差也可用公式D(

4、X)=E(X2)-(E(X)2计算(可由 pi展开整理得).,2.随机变量的方差和样本方差之间的关系,3.方差具有的性质 当a,b均为常数时,随机变量=a+b的方差D()=D(a+b)=a2D().特别地: (1)当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0. (2)当a=1时,D(+b)=D(),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.,(3)当b=0时,D(a)=a2D(),即随机变量与常数之积的方差,等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a,b均为非零常数时,随机变量=a+b的方差D()=D(a+b)=a2D().,【知识拓展】证明公式D(X)=E(X2)-

5、(E(X)2 证明:D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn =( p1+ p2+ pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+xnpn) +(E(X)2(p1+p2+pn) =E(X2)-2(E(X)2+(E(X)2 =E(X2)-(E(X)2. 利用公式D(X)=E(X2)-(E(X)2可以简化求方差的过程.,【微思考】 (1)数学期望与方差表示的含义相同吗? 提示:不同.数学期望是概率意义下的平均值,而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度. (2)两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系? 提示:由于两点分布是特殊的二项分布,故两点分布的方差同二项

6、分布的方差存在特殊与一般的关系.,【即时练】 (2014杭州高二检测)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务,若选出的男生人数为,则的方差D()= . 【解析】依题意得,随机变量服从超几何分布, 随机变量表示其中男生的人数,可能取的值为1,2,3.,所以X的分布列为： 由分布列可知E()= =2, 又E(2)= , 所以D()=E(2)-(E()2 = -22=0.4. 答案:0.4,【题型示范】 类型一 离散型随机变量的方差及标准差的计算 【典例1】 (1)同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为,则D()=(),(2)已知X的分布列为 设Y=2X+3.求E(Y

7、),D(Y).,【解题探究】1.题(1)中两枚硬币同时出现反面的次数服从什么分布? 2.题(2)中,可以根据分布列直接计算出哪个量的期望与方差? 【探究提示】1.两枚硬币同时出现反面的次数B . 2.可以利用公式计算出E(X)与D(X).,【自主解答】(1)选A.两枚硬币同时出现反面的概率为 故B ， 因此D()= (2)由条件中所给的随机变量的分布列可知 E(X)= D(X)= 所以E(Y)=E(2X+3)= D(Y)=D(2X+3)=,【延伸探究】在题(1)的条件不变的情况下，求“两枚硬币不 同时出现同面的次数的方差”. 【解题指南】不同时出现同面的次数B . 【解析】不同时出现同面的概率

8、为 .由题意可 知，同时抛掷两枚均匀的硬币10次，不同时出现同面的次数 B ，故D()= =2.5.,【方法技巧】 1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定 义求解,先求均值,再求方差. (2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解,具体如下, 若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). 若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).,(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列,然后转化成(1)中的情况. (4)对于已知D(X)求D(aX+b)型,利用方差的性质求解,即利用D(aX+b)=a2D(X)

9、求解.,2.求离散型随机变量的方差、标准差的步骤 (1)理解的意义,写出可能取的全部值. (2)求取各个值的概率,写出分布列. (3)根据分布列,由期望的定义求出E(). (4)根据方差、标准差的定义求出D(), .若B(n,p), 则不必写出分布列,直接用公式计算即可.,【变式训练】(2014浙江高考)随机变量的取值为0,1,2， 若P(=0)= ，E()=1,则D()=_. 【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的相关知识计 算,【解析】设=1时的概率为p， 则 解得p= ， 故 答案：,【补偿训练】一次数学测验有25道选择题构成,每个选择题有 4个选择项,其中有且只有一个选项正确,每

10、选一个正确答案得 4分,不作出选择或选错的不得分,满分100分,某学生选对任一 题的概率为0.8,则此学生在这一次测试中的成绩的D() =.,【解析】设学生答对题数为,成绩为,则B(25,0.8), =4, 则此学生在这一次测试中的成绩的 D()=D(4)=16D()=16250.80.2=64. 答案:64,类型二 方差的应用 【典例2】 (1)有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 () A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖

11、整齐程度不能比较,(2)甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.,【解题探究】1.题(1)中样本的方差与样本的整齐程度有什么关系? 2.题(2)中分析甲、乙的射击水平差异需比较哪些量? 【探究提示】1.样本的方差越小(大),则样本越整齐(不整齐). 2.通过比较甲、乙的期望与方差分别说明甲、乙的射击技术平均水平及其稳定性差异.,【自主解答】(1)选B.因为D(X甲)D(X乙),所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. (2)设甲

12、击中环数为1,乙击中环数为2. E(1)=80.2+90.6+100.2=9, D(1)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4; 同理有E(2)=9,D(2)=0.8. 由上可知,E(1)=E(2),D(1)D(2).,所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8,10环的次数多些.故甲射手的射击水平较高.,【方法技巧】利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的

13、平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.依据均值和方差的几何意义做出结论.,【变式训练】有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?,【解析】根据月工资的分布列,利用计算器可算得 E(X1)=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1 =1400, D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000;

14、 E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400, D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1=160000.,因为E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.,【补偿训练】A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示: A机床 B机

15、床 问哪一台机床加工质量较好.,【解析】E(1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E(2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差. D(1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D(2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. 所以D(1)D(2),故A机床加工较稳定、质量较好.,【规范解答】方差的实际应用 【典例】(12分)某花店每天以每枝

16、5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式.,(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ()若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的数学期望. ()若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升 失分点1:若对题中信息

17、把握不到位,导致处利润y与当天需求量n的函数关系是y=5n-5(16-n)=10n-80,致使本例得2分. 失分点2:若对变量X理解不到位,导致处错误.致使均值错误,本例最多得4分. 失分点3:若对期望的实际意义理解不到位,而没有得到处的式子,则会导致至少丢掉3分.,【悟题】提措施,导方向 1.建模信息的提取 熟读题设信息,把实际问题数学模型化是解决该类问题的关键.如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想. 2.理解期望的实际意义 期望是随机变量的数字特征,能够反映数据的整体情况,理解期望的实际意义是求解此类问题的关键,如本例(2)().,【类题试解】多向飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同的方向飞出,每抛出一个碟靶,就允许运动员射击两次,直到击中为止.一运动员在进行训练时,每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S(米)成反比,现有一碟靶抛出的距离S(米)与飞行时间t(秒)满足S=15(t+1)(0t4).假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击,且命中的概率为0