吴赣昌编-概率论与数理统计-第2章new

1、第二章 随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量的函数的分布,1,在第一章中，我们用样本空间的子集，即样本点的集合来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。,在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数X( )与之对应，,试验的结果,实数X(

2、 ),对应关系X,则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。,2,2.1随机变量,定义1 设E是一个随机试验，S是试验E的样本空间，如果对于S中的每一个样本点 ，有一实数X( )与之对应，这个定义在S上的实值函数X( )就称为随机变量。,由定义可知，随机变量X( )是以样本空间S为定义域的一个单值实值函数。,3,有关随机变量定义的几点说明： (1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点 的函数，常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、 等表示。 (2)随机变量X随着试验结果而取不同的

3、值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的； (3)随机变量X( )的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合； (4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。,4,例2.1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为 0，1，2，20 X=0表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”； X=1表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”； X=k表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。,5,例2.2 将

4、一颗骰子投掷两次，观察所得的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，12，而且 X=2=(1,1), X=3=(1,2),(2,1), X=4=(1,3),(2,2),(3,1), X=12=(6,6)。,随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：,P(X=2)=1/36,P(X=3)=2/36,P(X=4)=3/36,P(X=12)=1/36,6,例2.3 一正整数n等可能地取1,2,3,15共十五个值，且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数，则X是一个随机变量，且有下表：,即可得X取各个可能值的概率为：,7,例2.4 一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知

5、列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是 0，5,?,请举几个实际中随机变量的例子,8,练 习 引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格， 事件B=有2个空格， 事件C=全有球。 进行5次试验， 事件D=试验成功一次， 事件F=试验至少成功一次， 事件G=至多成功3次,9,随机变量的分类： 随机变量,10,2.2 离散型随机变量及其概率分布,一、 离散型随机变量及其分布律,1、离散型随机变量的概念,若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可数无穷多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。 讨论随机

6、变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。,11,2、分布律,定义1 设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, , xk, , 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pk, , 即,则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 为随机变量X 的概率分布律或称分布律，也称概率函数。 分布律可用表格形式表示为：,P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 而且满足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, ) （2）,12,例2.5 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回

7、)，求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0，1，2,X是一个随机变量,13,解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1, A2，A5相互独立，且 P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.6 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,14,二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律,1、 两点分布 定义2 若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为：PX=x1=p, PX=x2=1-p ，(0p1) 则称X服从x1, x2处参数为p的两点分布。,特别地，若X服从x1=1, x2=

8、0处参数为p的两点分布，即,则称X服从参数为p的0-1分布,即随机变量只可能取0，1两个值，且 P(X=1)=p， P(X=0)=1-p， (0p1)。,15,若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S=e1,e2,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量,即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。,16,2、二项分布,(1)伯努利(Bernoulli)试验模型（P27） 设随机试验满足： 1在相同条件下进行n次重复试验； 2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3在每次试验中，A发生的概率均一样，即

9、P(A)=p； 4各次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验。 在n重伯努利试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。,17,以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,n。设每次试验中A发生的概率为p，,发生的概率为1-p=q。,X=k表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即,这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出现,，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。,由4独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)n-k，因此,此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为,18,（2）二项分布定义,若随机变量X具有概率分布律,则称X服从

10、参数为n，p的二项分布，记为XB(n,p) 。 可以证明：,正好是二项式(p+(1-p)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时 PX=k=pk(1-p)1-k(k=0,1) 即为0-1分布。,19,二项分布的图形特点：,对于固定的n及p，当k增大时，概率PX=k先随之增大直至 达到最大值，随后单调减少，且 当(n+1)p不为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p时达 到最大值； (2)当(n+1)p为整数时，二项概率PX=k在k=(n+1)p和 k=(n+1)p-1时达到最大值；,20,例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品

11、件数的概率分布律。,解 设X=k表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，100。 本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)， XB(100,0.002)。 因此，所求分布律为,21,例2.8 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率是0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,解 设X表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,XB(7,0.6)。 因此X的分

12、布律为,所求概率为,22,例2.9 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解 (1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,23,例2.10 某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。,解 每次射击看成一次试验，设击中次数为X， 则 XB(400,0.02)， X的分布律为,所求概率为,24,例2.10告诉我们两个事实： 1虽然每次射击的命中率很小(0.02)，但射击次数足够大(为

13、400次)，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的(概率为0.997)。 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。 2若射手在400次独立射击中，击中目标的次数不到2次，则P(X2)=1-P(X2)0.003，即命中目标次数不到两次是一件概率很小的事件，而这事件竟然在一次试验中发生了。则根据实际推断，我们有理由怀疑“每次射击命中率为0.02”是否正确，即可以认为命中率达不到0.02。,25,泊松(Poisson)定理 设0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有,即当随机变量XB(

14、n, p)，(n0,1,2,)，且n很大，p很小时，记=np，则,26,例2.10可用泊松定理计算。 取 =np=4000.028, 近似地有 PX21 PX0PX1 1(18)e80.996981,27,3、泊松(Poisson)分布,若随机变量X所有可能取值为0,1,2,，且,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,28,泊松分布产生的条件：,随机事件流：在随机时刻相继出现的事件所形成的序列。 若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松流。 例如：某网站在一定时间内收到的点击次数；某超市收银台接待的顾客数；某机场降落的飞机数。,29,泊松定理表明，泊松分

15、布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。,30,例2.11 某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？,解 用X表示每月销量，则XP()= P(5)。由题意，要求k，使得PXk0.999，即,这里的计算通过查Poisson分布表得到，=5,k=12时,k=13时,k=13 即月初进货库存要13件。,31,例2.12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子

16、的概率。,解 由题意,32,33,习题1、 设离散型随即变量的分布律为 ，,，则求，以及()。,34,习题2、 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码, 试写出X的分布律. 习题3、 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。,35,习题4、 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 习题5、 设随机变量X有分布律： , YP(X),

17、试求： （1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。,36,习题6、,2.3 随机变量的分布函数,前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间0,+)，事件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0。在实际中，即使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说，事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率

18、来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b上的概率(ab)。 由于axb=xb-xa,(ab)，因此对任意xR，只要知道事件Xx发生的概率，则X落在(a,b的概率就立刻可得。因此我们用P(Xx)来讨论随机变量X的概率分布情况。P(Xx）：“随机变量X取值不超过x的概率”。,37,定义1 设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)P Xx， x(-，+) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2R， x1x2，随机变量X落在(x1,x2里的概率可用分布函数来计算： P x1X x2PX x2PXx1 F(x2)F(x1).,在这个意义上可以说，分布函

19、数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况。,一、分布函数的概念,38,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2)； 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,39,例2.14 设随机变量X具分布律如下表,解,试求出X的分布函数。,40,例2.15 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作

20、相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率,解 X的可能取值为0，1，2，3，且设p=1/2,则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：,X的分布函数：,41,所求概率为,一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 则X的分布函数F(x)为,F(x)的图像：非降，右连续，且在x1，x2 ，xk，处跳跃。,42,离散型随机变量X的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值在点x=xi

21、处有跳跃，其跳跃高度恰为xi点对应的概率值; (4)分布函数是右连续的; (5) P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0),43,例2.16 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在0,1区间任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。 解 F(x)=P(Xx),当x1时,F(x)=1,当0 x1时,特别,F(1)=P(0 x1)=k=1,44,用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,45,46,离散型随机变量的分布函数为 ，则 ? () () () (),习题1、,47,设随机变量的分布函数为 ， ，则 。判断

22、正误。,习题2、,48,设随机变量X的分布函数是： F(x) = (1)求 P(X0 )； P(0X1)；P(X1)， (2) 写出X的分布律。,习题3、,49,设随机变量X的分布函数是： F(x) = 求（1）常数A, (2) P(1X2).,习题4、,2.4 连续型随机变量,1、定义1 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，(-x+)，使对一切实数x，均有,则称X为连续型随机变量，且称f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。,一、连续型随机变量及其概率密度函数,X连续型随机变量，则X的分布函数必是连续函数。,50,(1) 非负性 f(x)0，(-

23、x+)；,2、密度函数的性质,(2),(3) 归一性,事实上,(4) 若f(x)在x处连续，则有,(5) f(x)在x0处连续，且h充分小时,有,f(x)称为概率密度的原由。,51,密度函数的几何意义为,密度函数曲线位于Ox轴上方。,即 y=f(x)，x=a，x=b，x轴所围成的曲边梯形面积。,52,对任意实数c，若X的密度函数为f(x),(-x+)，则 P(X=c)=0,连续型随机变量X取任一固定值的概率为0,证明,令,即得P(X=c)=0。,因此，对连续型随机变量X，有（不同于离散型）,53,不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。 （连续型随机变量X取任意值a的概率为0

24、，与离散型随机变量不同） 同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。 譬如在0,1中随机抽一个数,这个数是0.5的概率是0,但是并不是不可能.同样,抽到的数落在0,1)中的概率是1,但也不是必然的.,54,例2.17 设,求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3),解 (1)由性质,得,解之得,(2)X的分布函数为,(3),55,二、几个常用的连续型随机变量的分布,若随机变量X具有概率密度函数,1. 均匀分布,则称X在a, b上服从均匀分布，记作 XUa, b。,56,对任意实数c, d (acdb)，l=d-c，都有,若XUa, b，则X具有下述等可能性： X落在区间a,

25、 b中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。,X的分布函数,f(x),F(x)的图像分别为,O a b x,f(x),O a b x,F(x),1,57,例2.18 设随机变量XU1, 6 ，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解 当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,58,例2.19 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,15,45,解 设A乘客候车时间超过10分钟， X乘客于某时X分

26、钟到达，则XU(0,60),59,则称X服从参数为0的指数分布。 其分布函数为,2、指数分布,设连续型随机变量X具有概率密度,60,例2.20 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？,解,指数分布Forever Young(无记忆性),61,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。,3、正态分布,A,B,A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？,62,则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为XN(, 2)。

27、,若随机变量X的概率密度函数为,（其中 ，为实数，0）,f(x)的图像为,63,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x(-,+),正态分布密度函数f(x)的图形特征,(2)x= 时， f(x)取得最大值f()= ；,(3)x= 处有拐点；,64,(4)的大小直接影响概率的分布，越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峭。（如图）,正态分布也称为高斯(Gauss)分布,(5)曲线f(x)以x轴为渐近线。,65,易知,且,事实上，令,正态分布随机变量X的分布函数为,其图像为,O x,F(x),1,66,标准正态分布 当参数0，21时，称随机变量X服从标准正态分布，记

28、作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,67,O x,1,(x),标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为,可得,68,对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P295)。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用(-x)=1- (x)计算得到。,例2.22 已知XN(0, 1)，求P(-X-3)， P(|X|3),解 P(-X-3)= (-3) = 1-(3),标准正态分布表,P(|X|3)= P(-3X 3)= (3) - (-3) = (3) -1-(3) =2(3)-1 =20.9987-1=0.9974,=1-0.9987=0.0013,一

29、般地, XN(0, 1), P(Xx)=(x),P(|X|x)=2(x)-1,69,对于一般正态分布的随机变量XN(, 2)，可通过将其分布函数标准化的方法来计算其分布函数值(即概率)。,设随机变量XN(, 2)，其分布函数为FX(x)，则有,证明,一般有,70,例2.23 已知XN(1, 4),求P(5X7.2), P(0X1.6),解,标准正态分布表,例2.24 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿

30、元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？,解 （1）工程资方掌握资金3亿元。,若委托甲公司承包,若委托乙公司承包,标准正态分布表,=0.6554,(2)请自己完成。,委托甲公司承包较为合理。,72,正态随机变量的3原则：设XN(,2),在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当大(0.9973)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情

31、形下，X在一次试验中落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计。,73,例2.25 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数，则 YB(3,p),故,其中,标准正态分布表,74,75,习题1、 设 ，且 ，求 和 ； 习题2、 设随机变量的分布密度函数和分布函数为f(x)和F(x), 且f(x)为偶函数,则对任意实数,有 : A、 B、 C、 D、,76,习题3、 已知随机变量和都服从正态分布 , 设 , , 则下面选项哪一个是正

32、确的？ A、只对 的某些值,有 B、 对任意实数 ,有 C、对任意实数 ,有 D、对任意实数 ,有,习题4、 设连续型随机变量的密度函数为： （1）求常数k的值； （2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形， （3）计算 P(- 0.5X0.5).,习题5、 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待： （1）超过10分钟的概率； （2）10分钟 到20分钟的概率。,习题6、 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(22), P(X3)； (2)确定c，使得 P(Xc) = P(Xc)。 习题7、 某产品的质量指标X服从正态分布

33、，=160，若要求P(120X200)0.80，试问最多取多大？,一、离散型随机变量的函数的分布律,2.5 随机变量的函数的分布,设X一个随机变量，分布律为 XP(Xxk)pk, k1, 2, 则当Yg(X)的所有取值为yj(j1, 2, )时，随机变量Y有如下分布律： P(Yyj)qj, j1, 2, 其中qj是所有满足g(xi)= yj的xi对应的X的概率P(Xxi)pi的和，即,80,例2.26 设离散型随机变量X有如下分布律，试求随机变量Y=(X-3)2+1的分布律,解 Y的所有可能取值为 1，5，17,故，Y的分布律为,81,二、连续型随机变量的函数的分布,1、一般方法 设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，(-x+), Y=g(X)为随机变量X的函数，则Y的分布函数为 FY (y) P(Yy)P(g(X) y),从而Y的概率密度函数fY (y)为,此法也叫“ 分布函数法”,82,例2.27 设随机变量,求Y=3X+5的概率密度。,解 先求Y=3X+5的分布函数FY(y),Y的概率密度函