电磁学8.5-8.7

1、1,电荷的电量该点的电势,“电荷与电场的相互作用能”,8.5 电荷在外场中的静电势能,【例】氢原子中电子的静电势能,“电子与电场（质子）的相互作用能”,原子核（质子）的电势：,电子的静电势能：,2,【例】电偶极子在均匀外电场中的电势能,（受力矩： ）,【思考】势能W随p的取向如何变化？,证明：,3,8.6 电荷体系的静电能,一、点电荷体系的相互作用能,其中Ui 为 qi 所在处，由 qi 以外的其它电荷所产生的电势。,4,式中U为在带电体上，所有电荷在电荷元dq 处的电势。,二、连续分布的电荷体系的静电能, 各电荷元间的静电相互作用能,5,【例】均匀带电球体的静电能,分割成同心薄球壳（dq）,

2、dq,所在处的电势为,静电能为,6,8.7 静电场的能量,均匀带电球面的静电能:,静电能贮存在电场中,Ein = 0,在区域V 中电场的能量：,静电能贮存在哪儿？,7,用特例说明：,电场的能量密度：,设电斥力作用 R R+dR,球壳 (R,R+dR)内的静电能, 减少的静电能：,8,【例】对场能积分求均匀带电球体的静电能。,9,8.1 两个同心球面，半径分别为10cm和30cm，小球均匀带有正电荷110-8C，大球匀带有正电荷1.510-8C。求离球心分别为（1）20cm，（2）50cm的各点的电势。,解：,由电势叠加原理可得,（1）,（2）,习题,10,8.2 两均匀带电球壳同心放置，半径分

3、别为R1和R2（R1R2），已知内外球之间的电势差为 U12，求两球壳间的电场分布。,解：,设内球的带电量为q，则,q,由此得两球壳间的电场分布为：,方向沿径向。,11,8.3 一均匀带电细杆，长为 l 15cm，线电荷密度 2.010-7C/m。求：,解：,（1）细杆延长线上与杆的一端相距 a = 5.0cm 处电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距 b = 5.0cm 处电势。,（1）沿杆取 x 轴，杆的x轴反向端点取作原点，由,电势叠加原理，可得所给点的电势为,（2）利用3.5题的结果，可得,12,8.4 半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。 求此圆盘轴线上的电势分布 （1）利用原书例8

4、.4 的结果用电势叠加法； （2）利用原书第1章例7.6 的结果用场强积分法。,解：,由电势叠加原理，整个电圆在 x 处的电势,（1）半径为r，宽度为dr的带电圆环在圆盘轴线上离盘心x处的电势为,（2）整个带电圆盘在x 轴上的电场分布式为,13,由场强积分可求出x 处的电势为,14,8.5 用电势梯度法求上面题中x0各点的电场强度。,解：,已知沿 x 轴有,在 x 轴上,15,8.6 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置q， q和2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电量为Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多少功？,解：,重心上的电势为,所求外力做的功为,16,8.7 地球表面上

5、空晴天时的电场强度约为100V/m。 （1）此电场的能量密度多大？ （2）假设地球表面以上10km范围内的电场强度都是 这一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kWh？,解：,（1）,（2）,17,习 题 集 一、选择题： 8.8 一“无限大”带负电荷的平面，若设平面所在处为电势零点，取x 轴垂直带电平面，原点在带电平面处，则其周围空间各点电势U 随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为： ,分析：,“无限大”均匀带负电荷平面的电场分布，如右图：,场强大小为：,电势分布：,A,x 0， U 0;,x 0 处，E 0.,电势分布图线应是A项。,18,8.9（P121）在点电荷q 的电场中

6、，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为 ,分析：,由电势定义,因此，正确答案是D 项。,D,（D）,（B）,（A）,（C）,19,8.10 电荷面密度为+和-的两块“无限大”均匀带电的平行平板，放在与平面相垂直的x 轴上的+a和- a 位置上，设坐标原点o 处电势为零，则在- a x+ a 区域的电势分布曲线为 ,分析：,两“无限大”均匀带电平面之间的电场分布，如右图：,其大小表示为：,电势分布（原点o 处电势为零）：,x 0 处，E 0， U 0;,x 0 处，E 0.,电势分布图线应是C项。,C,20,8.11 一带电可作为点电荷处理的条件是 ,分析：,是C项。,（A）电荷必须呈球形分

7、布。 （B）带电体的线度很小。 （C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 （D）电量很小。,C,8.12 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？ ,（A）在电场中，场强为零的点，电势必为零。 （B）在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。 （C）在电势不变的空间，场强处处为零。 （D）在场强不变的空间，电势处处相等。,分析：,举反例说明。,C,21,8.13 一个静止的氢离子( H) 在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子( O-2) 在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： （A）2 倍。（B） 倍。（C） 倍。（D）4 倍。,分析：,由已知，静止的氢离

8、子与静止的氧离子在同一电场中且通过相同的路径被加速，所获速率分别满足：,两式相除，得：,B,22,二、填空题： 8.14 把一个均匀带电量+Q 的球形肥皂泡由半径r1 吹胀到r2 ，则半径为R（r1 R r2）的高斯球面上任一点的场强大小E由 变为 ；电势 U 由 ，变为 （选无穷远处为电势零点）。,分析：,肥皂泡半径为r1时，,电势 ：,肥皂泡半径胀到 r2时，,高斯球面上任一点的场强为0 ；,电势为：,Q/40R2,0,Q/40 R,Q/40 r2,高斯球面上任一点的场强大小：,23,8.15 一半径为 R 的均匀带电球面，其电荷面密度为。若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电势U =

9、。,分析：,半径为R 的均匀带电球面上的电势为,R/0,24,8.16 真空中一均匀带电细圆环，其电荷线密度为。则其圆心处的电场强度 E0 = ；电势U0 = 。（选无穷远处电势为零）,分析：,由场强叠加原理，均匀带电细圆环圆心处的电场强度：,又因电荷对圆心对称分布，均匀带电细圆环上各电荷元在圆心处的电场强度相互抵消，所以：,0,由电势叠加原理得圆心处的电势：, / 20,25,这表明静电场中的电力线。,8.18 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零，即,该式的物理意义是： 。,单位正电荷在静电场中沿任何闭合路径绕行一周，电场力作功为零,8.17 静电场的环路定理的数学表示式为： ，,

10、该定理表明，静电场是 场。,保守力（有势）,不可能闭合,26,8.19 在点电荷q 的电场中，把一个电量 q0 为： -1.010-9 C的电荷，从无限远处（设无限远处是电势为零）移到离该点电荷距离0.1cm处，克服电场力作功1.810-5 J，则该点电荷的电量 q = 。,分析：,由电场强力做功计算式,当将q0 从 b 点时，有,-2.010-7 C,27,8.20 图示为某静电场的等势面图，在图中画出该电场的电力线。,分析：,因为电力线方向总是沿着电势降落的方向，且电力线与等势面处处正交。,所以该电场的电力线如图所示：,8.21 在静电场中，电势不变的区域，场强必定为。,分析：,由场强与电

11、势梯度的关系，,知，U = 常数 时，必有,零,28,8.22 两个同心的球面，半径分别为R1，R2（R1R2）， 分别带有总电量q1，q2。设电荷均匀分布在球面上， 求两球面的电势及二者之间的电势差。不管q1大小大 小如何，只要是正电荷，内球电势总高于外球；只要 是负电荷，内球电势总低于外球。试说明其原因。,解：,内球电势：,外球电势：,两球的电势差：,由于,所以U12的正负由q1的正负决定。,当q10时，U120，总有内球电势高于外球。当q10时，U120，总有内球电势低于外球。这是由于两球面的电势差由两球面间的电场分布决定，而这电场又只是与q1有关的缘故。,29,8.23求出1.18 题

12、中两同轴圆简之间的电势差。,解：,两同轴圆简之间的电势差为,30,8.24 一计数管中有一直径为2.0cm的金属长圆简，在圆简的轴线处装有一根直径为 1.2710-5m 的细金属丝。设金属丝与圆简的电势差为1103V，求：,（1）金属丝表面的场强大小； （2）圆简内表面的场强大小；,解：,以表示金属丝上的线电荷密度，则,（1）在金属丝表面,（2）在圆简内表面，,31,（1）用高斯定律求出柱内外电场强度分布； （2）求出柱内外的电势分布，以轴线为势能零点： （3）画出 E-r 和 -r 的函数曲线。,8.25 一无限长均匀带电圆柱，体电荷密度为，截面半径为a 。,解：,（1）作与带电圆柱同轴而截面半径为r，长度为l的圆柱面（两端封顶）的高斯面。由高斯定律,当 ra 时,ra 时,32,（2）当 r a 时,（3） E-r 和 -r 曲线 如图所示。,r a 时,33,8.26 一均匀带电的圆盘，半径为R，面电荷密度为，今将其中心处半径为R/2圆片挖去。试用叠加法求剩余圆环带在其垂直轴线上的电势分布，在中心的电势和电场强度各是多大？,解：,所求的圆盘轴线上的电势等于未挖圆盘的电势和在挖去处叠加以异号电荷的电势的叠加。由 3.10 题的结果可得所求电势为:,在中心处，x0，代入上式可得,由对称性，可知在中心处，电场强度为零。,34,8.27 如图所示，三块互相平行的