2.1.3函数的单调性(2)

1、2.1.3函数的单调性（1）,1、引入课题,作出下列函数的图象，并指出从左至右看， （1）函数的图象是上升还是下降， （2）随着x的增大，y是增大还是减小：,(1) f (x) = x,（2）f (x) = x2,在区间 上， y随着x的增大 。,增大,在区间 上， y随着x的增大 。,减小,在区间 上， y随着x的增大 。,增大,x,y,O,在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，,A(x1, y1),B(x2, y2),x1,x2,x=x2x1 y= y2y1 = f(x2)f(x1),x表示自变量x的改变量 y表示因变量y的改变量,2、自变量和因变量的改

2、变量,3、增函数与减函数定义,O,x,y,x1,x2,一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的任意两个值x1 、x2,改变量x=x2-x10，,(1) 当y=f(x2) f(x1)0时， 就称y=f(x)在区间M上是增函数.,O,x,y,x1,x2,(2) 当y=f(x2) f(x1)0时， 就称y=f(x)在区间M上是减函数.,1、如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说函数y=f (x)在这一区间上具有单调性。这一区间叫做f (x)的单调区间,2、函数在某个区间单调性的三种阐述 （1）增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）y

3、随x的增大而增大（或减小）。 （3）定义证明。,说明,例1、下图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一区间上，是增函数还是减函数.,其中y=f(x)在区间-5, -2)，1, 3)上是减函数, 在区间-2, 1)，3, 5上是增函数.,解:函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,例2、证明f (x)=3x+2在(-,+)上是增函数。,证明：,设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2， 则：x = x2-x1 0,y = f(x2)f(x1),=(3x2+2)(3x1+2),= 3(x2x1),=3x

4、0,所以f(x)=3x+2在(-，+)上是增函数.,（设条件）,（论证结果）,（下结论）,“数形结合”总结一次函数y=ax+b的单调性。,当a0时，一次函数y=ax+b在(-，+) 单调递增。 当a0时，一次函数y=ax+b在(-，+) 单调递减。,练习,1、证明函数 在(-,0)和(0,+)上都是减函数.,定义证明单调性的一般步骤： （1）设条件 （2）论证结果 （3）下结论,2.1.2函数的单调性（2）,1、增函数与减函数定义,O,x,y,x1,x2,一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的任意两个值x1 、x2,改变量x=x2-x10，,(1) 当y=f(x2

5、) f(x1)0时， 就称y=f(x)在区间M上是增函数.,O,x,y,x1,x2,(2) 当y=f(x2) f(x1)0时， 就称y=f(x)在区间M上是减函数.,练习,1、证明函数 在(0,1上是减函数， 在1,+)是增函数.,对钩函数,定义证明单调性的一般步骤： （1）设条件 （2）论证结果 （3）下结论,练习：,2. 求下列函数的单调区间，并指出在该区间上函数是增函数还是减函数,单调性小结 （1）一次函数 （2）二次函数 （3）分式函数 （4）组合函数,函数单调性简单性质总结,函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数， 则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。,1、(1)若函数f

6、 (x)在区间m,n上是增函数，则f (x)在该区间上的最小值为_；最大值为_. (2)若函数f (x)在区间m,n上是减函数，则f (x)在该区间上的最小值为_；最大值为_.,f (m),f (n),f (n),f (m),2、函数y=f(x) 在区间I上为增（减）函数， 则函数y=-f(x)在区间I上为减（增）函数,4、若f (x)是R上的减函数，并且f (4a)f (2a+4)， 则实数a的取值范围是_,3、若函数f (x)=(2a-6)x+5a是R上的增函数， 则实数a的取值范围是_,a3,a2,变式、若f (x)是（-3，3）上的减函数，并且 f (4a)f (2a+4)，则实数a的

7、取值范围是_。,5、已知二次函数f (x)开口向上，且对称轴为x=1 试比较f(-2)，f(2)，f(5)的大小。,6、已知二次函数f (x)=4x2-mx+5在区间(-,-2 是减函数，求实数m的取值范围。,f(2)f(-2)f(5),m-16,练习1、若二次函数f (x)=x2-2ax+5在区间(-,-2) 是减函数，在(2,+)上是增函数，求a的值。,练习2、若二次函数f (x)=x2+4x-3在(a，10)上是增函数，求a的取值范围。,7、求下列函数的单调区间.,x,O,-2,2,-4,4,x,y,O,-2,2,-4,4,y,8、求下列函数的单调区间.,补充练习：,1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a0)满足f(2+t)=f(2t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.,f(4)f(1)f(2),4、f (x)是R上的减函数，并且f (4a)f (2a+4)， 则实数a的取值范围是_,5、已知二次函数f (x)开口向上，且对称轴为x=1 试比较f(-2)，f(2)，f(5)的