地球椭球与测量计算

1、第五章 地球椭球与测量的计算,江苏师范大学测绘学院,应用大地测量学,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决2个问题： 一是椭球参数的选择； 二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,一、椭球的几何参数及其关系,O为椭球中心 NS为旋转轴 a为长半径 b为短半径 NRS为子午圈 CC为平行圈 WRE为

2、赤道 OF1为偏心距,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,一、椭球的几何参数及其关系 第一偏心率 为简化书写，常引入如下符号： 第二偏心率： 扁率 两个辅助函数： 椭球长半径a，短半径b,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,椭球的几何参数之间或辅助函数之间存在下面的关系：,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,利用椭球的4个几何物理常数计算扁率的公式：,式中：,实际上，比较第二章中的q，我们会发现：,因此，这里的 就是q。即赤道上的离心力与重力之比。,几种椭球几何参数,习惯上用a和f表示,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,二、垂

3、线偏差及其基本公式 垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角u。 为了比较各点的垂线偏差，需要将垂线方向统一延伸到大地水准面，在大地水准面上的垂线偏差叫做大地水准面垂线偏差。 不同性质的椭球，垂线偏差也不同： 对应于正常椭球的垂线偏差叫做重力垂线偏差；对应于平均地球椭球的垂线偏差，叫做绝对垂线偏差或物理垂线偏差；对应于参考椭球的垂线偏差，叫做相对垂线偏差。 相对垂线偏差不只是由地球内部质量分布不均匀而引起，还包括参考椭球的参数，定位和定向的影响。,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,1.垂线偏差的计算公式 垂线偏差 的分量子午圈分量 和卯酉圈分量,应用大地测量学,第

4、一节 地球椭球及其定位,在球面直角三角形Z1Z2P中：,由于-L和都比较小，有：,于是，有：,或者,2.天文方位角和大地方位角之间的关系式,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,应用大地测量学,第一节 地球椭球及其定位,在三角形ZZ1P中，ZZ1P=180-1，根据球面三角形余弦的半角和公式：,化简后得：,由于角值较小，并令=B，最后可得：,应用大地测量学,第一节 地球椭球及其定位,由图看出，R1-R就是垂线偏差对水平方向观测值的影响。在球面直角三角形MR1R中，有:,而在球面直角三角形MZZ1中，有:,代入前式，有:,由于（R1-R）和u数值较小，并考虑: ，最后得：,应用大地测量学,第

5、一节 地球椭球及其定位,天文方位角是，大地方位角是A，之间的关系是： 通常垂线偏差都小于10，z1约为90，R1-R也仅有百分之几秒，远小于天文方位角的观测误差，所以上式写成： 上式就是天文方位角归算为大地方位角的计算公式，成为拉普拉斯方程式。还可以写成： 由此得到的大地方位角称为拉普拉斯方位角。,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,如果椭球的短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角，此时垂线偏差公式和拉普拉斯方程将扩展为： 上式为广义垂线偏差公式和拉普拉斯公式。,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,三、椭球的定位 椭球定位将一定参数

6、的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。,椭球坐标系和地球坐标系,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,三、椭球的定位 椭球定位的过程和原理 1.选定大地原点K 2.测量天文经度 ，天文纬度 ，正高 及天文方位角 3.写出广义的垂线偏差公式和广义的拉普拉斯方程 4.顾及到 ，将上式写成,第一节 地球椭球及其定位,应用大地测量学,式中没有出现X0Y0Z0，其实他们是被 代替了。因此，椭球定位和定向实际上就是确定 。,一点定位 最初定位时，令大地原点处椭球的法线和铅垂线方向重合，椭球面和大地水准面相切，即 ，此即为一点定位。 多点定位 以后定位时，利用

7、多个拉普拉斯点的测量成果，根据 求出,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,基本概念 法截面包含曲面一点法线的平面。有无数个。 法截线法截面与曲面的截线。有无数条。 子午圈包含短轴的平面与椭球面的交线。 卯酉圈与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,一、卯酉圈曲率半径N,卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。 斜截线不包含法线的平面与椭球面的截线，成为斜截线。 平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。 平行圈是斜截线。 平行圈和卯酉圈有相同的切线。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,麦尼尔定理：

8、通过曲面上一点引两条弧线，一为法截线，一为斜截线，且在该点上这两条弧线具有公共切线，这时斜截线在该点处的曲率半径等于法截线的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,这表明，卯酉圈的曲率半径N恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度。 在子午椭圆上，以长轴为x轴，短轴为y轴建立坐标系，那么椭圆的方程是,对x求导数,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,根据导数的性质，曲线上某一点的导数就是该点的切线与横轴正方向所夹角的正切。,代入导数公式，得,代入椭圆方程，得,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,由图可看出，x=r，所以，,与前面的

9、,比较得：,根据N和W的关系，以及c和a的关系，还有,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,二、子午圈曲率半径M,因为,所以可求r对B的导数为,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,代入得,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,在微分几何学中，曲面上任一点的切平面上，都存在两个互相垂直的特殊方向，使法截线的曲率达到最大值和最小值。这两个方向称为主方向，其相应的法截线曲率称为主曲率。对应的曲率半径成为主曲率半径。 在椭球面上任一点的法截线中，卯酉圈的曲率半径达到最大值，而子午线的曲率半径最小，因此，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向就是椭球面在该点的主方向，其曲率半径

10、N和M就是主曲率半径。由于椭球面上任一点的平行圈和卯酉圈有公共切线，所以，经线和纬线的切线方向也是主方向。,应用大地测量学,第二节 椭球面上法截线曲率半径,M、N随B变化的规律,总结：N和M都只与B有关，且随B的增大而增大，当B等于90度时，二者相等，都等于c，所以c就是极曲率半径。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,三、任意方向法截线曲率半径RA,根据微分几何中的欧拉公式，由曲面上任意一点的主曲率半径计算该点任意方向（大地方位角为A）的法截线曲率半径的公式是：,将上式除以M，并顾及 得：,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,法截线的曲率半径具有下述特性： 1）相对于

11、主方向对称位置的法截线具有相同的曲率半径。 2）椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲率之和是固定值，且等于两个主方向曲率之和。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,四、平均曲率半径,上式表明，椭球面上某一点处的法截线的平均曲率半径等于该点处子午圈和卯酉圈曲率半径M和N的几何平均值,在极点处为c。且有,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,五、曲率半径的数值计算公式,二项式定理：,第二节 椭球面上法截线曲率半径,应用大地测量学,五、曲率半径的数值计算公式,将椭球参数代到上面的公式中，即得对应于各个椭球的数值计算公式，如克拉索夫斯基椭球，1975年国际椭球等。,第二节 椭球面

12、上法截线曲率半径,应用大地测量学,下面是三个曲率半径的数值（克拉索夫斯基椭球）,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,一、子午圈弧长公式 （用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算） 计算B=0到B的子午圈弧长X 由M=dX/dB得： 将 代入上式，得X,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,根据三角函数的积分公式，有,依次求出余弦函数各次幂的定积分，经整理得：,式中：,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,计算已知纬度B1和B2之间的子午圈弧长X （1）分别计算0到B1和0到B2之间的子午圈弧长X1和X2，然后求X=X2-X1； （2）用上述积分式求B1B2之间的子午圈弧长X。 单

13、位纬度的子午线弧长随纬度的升高而缓慢地增大。,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,二、平行圈弧长 平行圈是一个半径等于 r=NcosB的圆，纬度B处经度L1L2之间的平行圈弧长,与纬度有关。纬度越高，平行圈半径越小，单位纬度对应的弧长越短。,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,椭球面梯形图幅面积的计算,具体的计算公式为,地球全球的面积为5.1亿km2，地球的半径为6371.1km,第三节 椭球面上弧长计算,应用大地测量学,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,野外测量时，假设测站点的铅垂线与法线重合，那么视准面就是法截面，它和椭球面的截线

14、就是法截线。但是事实上，测站点的铅垂线一般不可能与法线重合，不同测站点的法线也不相交，两个对向观测的测站之间就会出现两条不相重合的法截线。,纬度不同，交点K的位置就不同，并且纬度越高，K的位置就越靠下。,一、相对法截线,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,设Q1和Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线Q1n1和Q2n2不相交。法截线Q1m1Q2和Q2m2Q1称为两点间的相对法截线。图中，Q1比Q2低，n1比n2高，所以m1比m2低，即偏南。正反法截线。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,正反法截线之间的夹角： 令Bm=45，A=45，不同距离S求得

15、的值为： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得3个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,二、大地线及其几何特征 大地线曲面上两点间的最短曲线。在微分几何学中，大地线（又称测地线）是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。也即大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。,曲线的切线、曲面的切平面、法线、密切平面的概念 曲线切线：当P1和P2点无限接近P点时，割线P1P2的极限位置。 切平面：曲面上通过P点的一切曲线的切线均在同一平面上。

16、 曲面法线：垂直于切平面的直线PK。 密切平面：ds1、ds2无限小时，P1，P,P2所确定的平面。 曲线的主法线：在密切平面内垂直于曲线切线的直线。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,在Howard D.Curtis著的轨道力学中有密切平面的定义：加速度 ， 为 的切向分量， 为 的法向分量，单位矢量 和 所形成的平面称之为密切平面。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,大地线与法截线的差异： 大地线为双曲率曲线 大地线与正法截线间的夹角为=/3。 大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km时二者之差仅为0.007mm。 两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线

17、与子午圈、赤道重合。,曲面上的曲线并不都是大地线，如球面上的小圆弧。对于椭球，假想在其上拉紧一条既无重力又无摩擦力的细绳，细绳的平衡位置就是一条大底线。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,三、大地线微分方程和克莱劳方程 大地线的解析特性表述dB、dL、dA与dS的关系： 大地线的三个微分方程：,大地线的克莱劳方程 ：,应用大地测量学,第四节 地面观测值归算至椭球面,积分,这就是著名的克劳来方程，也叫克劳来定理,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个常数。 C叫做大地线常数，不同的大地线对应的大

18、地线常数不同。 赤道：C=a，子午圈：C=0 图中的大地线EDKC，其常数等于asinA0或极小平行圈的半径r0。,用来验证大地方位角计算的正确性,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,四、地面观测方向归算至椭球面 1、垂线偏差改正1 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数1为： 例：A=0，tan=0.01，=5，则1=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,2、标高差改正2 因照准点 B高出

19、椭球面某一高度 H2，使得在A点照准B点的法截线Ab与Ab之间有一夹角2。 B2 照准点的大地纬度； A1 测站点至照准点的大地方位角； H2 照准点高出椭球面的高程； M1 测站点子午圈曲率半径。 例：A1=45，B2=45，H2=2000m，2=0.1 局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,3、截面差改正3 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数3。 例：A1=45，Bm=45，S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。,第四节 地面观测值归算至椭

20、球面,应用大地测量学,五、地面观测距离归算至椭球面 设A、B两点的大地高分别为H1为H2，h=H2-H1，d为空间直线长。 现在要求测站点A的投影点a到照准点B的投影点b之间的大地线长度S。 两个近似：1）大地线长度与法截线长度之间的差值忽略不计；2）法截线长度与以RA为半径的圆弧的长度之差忽略不计。 两个步骤：1）将空间距离转化为弦长S0；2）将弦长S0转换为弧长S,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,第一步完成,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,第一项是测距仪与反光镜平均高程面上的水平距离，第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数，第三项是弦长换算成椭球面上

21、圆弧长的改正数。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,六、椭球面上的三角形解算 目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。 又因为地球椭球扁率不大，三角锁网中的三角形比较小，椭球面上的三角形解算完全可以在球面上进行。200km，0.001，1mm 方法一：按球面三角形解算公式，例如球面三角形的正弦定理,两个缺点：1）解算前需要将已知边长除以球半径转化为球心角，解算后再将球心角转化为长度，很不方便；2）球心角很小，而小角度的正弦函数值变化很快，难以保证解算精度。,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形

22、，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。,球面角超,公式推导： 球面上的一个角按余弦定理有： 平面上的一个角,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,令：,则：,同理：,第四节 地面观测值归算至椭球面,应用大地测量学,这就是解算球面三角形的勒让德定理,该定理表明，如果将球面三角形的每个角度减去其球面角超的三分之一，就得到对应边相等的平面三角形，按平面三角形的正弦公式解算，即可得出球面三角形的边长。,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,一、概述 （一）解算内容 大地问题正解已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地

23、方位角A12，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A21。 大地问题反解已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A12、A21。 实质是：大地极坐标和大地坐标之间的变换,椭球面上的大地经度L、大地纬度B、两点间的大地线长度S及其正反大地方位角A12、A21通称为大地元素。已知一部分求另一部分，就是大地问题解算，或称大地坐标解算。,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,一、概述 （二）解算方法 1、按解算的长度分为短距离（400km)、中距离（4001000km)和长距离（大于1000km)的解算。 短距离用于一等三角测量，中、

24、长距离用于洲际联测、导弹与火箭发射、导航和宇宙航行等。 2、按解算形式分为直接解法和间接解法 直接解法直接解求点的B、A和相邻起算点的大地经差。 间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,二、勒让德级数式 按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方位角差a展开成为大地线长度S的幂级数，称为勒让德级数式。,式中，S=0表示级数在P1点处展开，即以B=B1,L=L1,A=A1之值代入求的。,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,上式中的一阶导数就是大地线的微分方程式：,显然有

25、： 以上式为基础，可以依次导出其它各阶导数。,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,二阶导数：,对二阶导数继续求导可得三阶导数： 将以上的导数代入台老级数式中，并令：,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,上述三式可作为大地问题正算的基本公式，单位为弧度，适用于短距离的大地问题解算。当取至4次项时，对于30km以内的大地线，大地经纬度的计算精度可达0.0001，大地方位角可精确至0.001。,得到勒让德级数式：,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,为了反解，可将上述三式中的前两个写成下面的形式：,移项得勒让德级数的反解迭代公式：,u、v的迭代初值为：,迭代终止条件为：

26、,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,P1和P2两点间的大地线长度S和中点处的大地方位角可用下式计算：,P1和P2两点间的大地方位角可用下式计算：,Am及所在象限可按下面的公式计算和判断：,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,为了解算大地问题，高斯于1846年对勒让德级数进行了改化，提出了以大地线两端点平均纬度及平均方位角为依据的高斯平均引数公式，它具有收敛速度快，公式项数少，计算精度高，计算较简便，使用范围大等优点。,三、高斯平均引数正解公式 属于间接解法，适用于短距离 基本思路： a、首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线中点M展开，以使级数公式项数少，收敛快，精度高

27、。 b、考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利实现大地问题正算。,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,（一）将l、b、a在大地线中点M处展开为S的幂级数,两式相减得：,（5-80）,同理可得：,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,虽然只有两项，实际上已达到勒让德级数4项的精度。问题在于如何求出AM和BM，为此，引入大地线两端点的平均大地纬度和平均大地方位角：,（5-81）,第五节 椭球面上大地问题解算,应用大地测量学,（二）将M改为m,由于椭球存在着扁率，所

28、以BM不等于Bm，AM不等于Am；由于扁率很小，故BM-Bm和AM-Am极其微小，因此，可设法将以BM和AM为依据的导数改为以Bm和Am为依据的导数，使问题得到解决。 由于 是B、A的函数，可以写出：,上式以Bm和Am为依据按台老级数展开：,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,即：,根据上一节的推导，有：,再求对B的偏导数：,上式可简化为：,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,同样还可推导出：,最初的级数展开式的两式相加再除以2：,它们仍然是B、A的函数，按台老级数展开为：,将上式代入前面的公式中，第二项和第三项将变成S的第5项，可忽略。,(5-85),应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,因此：,将上式代入（5-85）得：,（5-86）,将有关公式代入，得：,（5-87）,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,还可以直接取：,进一步推导出：,（5-88）,将（5-88）、（5-87）代入（5-80）、（5-81）得：,应用大地测量学,第五节 椭球面上大地问题解算,上式就是高斯平均引数大地问题正解公式，公式中保持了4次项的精度，可用于225km以内的大地闻听精密解算。 当距离小于70km时，上述各式中的 项可省去，则得简化公式：,实际计算时要通过逐次迭代的方式来趋近。一般迭代3次就可以了。,第五节 椭