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文档简介

1、1,包络定理（envelope theorem）,包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题,这里，a 是一个参数（外生变量），x 是一向量，我们称(a)为间接目标函数。该最大值问题是在 a 为某一固定值时寻找适当的 x*，使得函数 f(x, a) 达到最大。显然，若 a 的数值发生变化时，x* 和目标函数的最大值 f(x*, a) 也会随之而变化。 判断 a 的数值变化时 (a)= fx*(a), a 变化的大小和方向，我们可以使用,由于先得到 x*(a) 非常麻烦，我们可以直接使用包络定理,2,包络定理的证明,记对应参数值 a 的最大值点为 x (a)，假设它关于 a 可微，则有,由于

2、 x (a) 是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立,因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。,3,包络定理图示,4,包络定理的一个推论,对于一个具有一般性的最优化问题,x 是 n 维向量， a 是 m 维参数。包络定理可以写为：,含义：某参数对目标函数最大值（最大值函数）的影响，等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解处取值。,5,包络定理的一个推论（证明）,我们构造拉格朗日函数,一阶条件为,如果我们得到最优解,则最大值函数,6,包络定理的一个推论（证明）,对于最大值函数,两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得,对于约束条件,两边关于 ai 求导，可得,代入上式,7,包络定理的应用之一：消费者选择理论,对于消费者选择问题,我们容易得到马歇尔需求函数,此时的效用函数值（间接效用函数）：,构造函数,利用包络定理，可得,罗伊恒等式（Roys identity）,8,包络定理的应用之

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