高中数列的常见解法)

1、最新资料推荐数列解题方法一、基础知识：数列的定义项数列的有关概念项数数列数列的通项通项数列与函数的关系等差数列的定义等比数列的定义等差数列的通项等比数列的通项等比数列等差数列等差数列的性质等比数列的性质等差数列的前n 项等比数列的前 n 项数列：1 数列、项的概念 ：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2 数列的项的性质：有序性；确定性；可重复性3 数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成 a1， a2，a3， ， an，（），简记作 an 其中 an 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符

2、号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4 数列的一般性质：单调性；周期性5 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列、 无穷数列；按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列1最新资料推荐nn与它的序号n 之间的函数关系可以用一个6 数列的通项公式 ：如果数列 a 的第 n 项 a公式 a n =f （ n）（ n n或其有限子集 1 ， 2， 3， n ） 来表示，那么这个公式叫+做这个数列的通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号

3、是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一7 数列的递推公式 ：如果已知数列 an 的第一项（或前几项），且任一项an 与它的前一项 an-1（或前几项 a ， an-2，）间关系可以用一个公式a =f （ a n 1 ）（ n=2， 3，）n- 1n（或 an=f （ a n 1 , a n 2 ） ( n=3， 4，5， ) ，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 n8 数列的求和公式 ：设 sn 表示数列 an 和前 n 项和，即 sn=ai =a1

4、+a2 +an，如果 sn 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式i1s = f （n）（ n=1， 2， 3，） 来表示，那么n这个公式叫做这个数列的求和公式 9 通项公式与求和公式的关系：通项公式 an 与求和公式 sn 的关系可表示为：ans1 (n1)snsn 1(n2)等差数列与等比数列：等差数列等比数列文一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与一般地，如果一个数列从第二项起，每一项字与它的前一项的比是同一个常数，那么这个它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列定数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。义公比。符an 1andan 1q(q 0

5、)号an定义递增数列：分递减数列：类常数数列：递增数列： a10， q1或 a10，0q1d0d递减数列： a10， q1或 a10，0q10d摆动数列： q00常数数列： q1通an a1 (n 1)d pn q am (n m)dan a1qn 1amqn m项其中d（ q0 ）p d, q a12最新资料推荐前sn(a1 an )nan(n1)dpn2qnn212n项d , q a1d和其中 p22中a,b,c成等差的充要条件 : 2bac项等和性： 等差数列an若 m np q 则 amanapaq主推论：若 mn2 p 则 aman2a p要性an kan k2an质a1 ana2a

6、n 1a3an 2即：首尾颠倒相加，则和相等1、等差数列中连续 m 项的和，组成的新数列是等差数列。即：sm , s2 m sm , s3m s2 m , 等差，公差为 m2 d 则有 s3m 3(s2m sm )其2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： a1 ,a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）3、an , bn 等差，则a2 n ， a2 n 1 ，它 kan b ， pan qbn 也等差。4、等差数列an的通项公式是n 的一次函数，即： andnc ( d 0 )等差数列a的前 n 项和公式是一个没有常n数项的 n 的二次函数，即： sn an 2b

7、n ( d 0 )5、项数为奇数2n 1的等差数列有：sna1 (1qn ) ( q1)1qna1(q1)a, b, c成等比的必要不充分条件：b2ac等积性： 等比数列an若 m np q 则 am anap aq推论：若 mn2 p 则 aman(ap ) 2akan k(an)2na1 ana2 an 1a3 an 2即：首尾颠倒相乘，则积相等1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即： sm , s2m sm, s3m s2m , 等比，公比为 qm 。2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： a1 , a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）3

8、、 an , bn 等比，则a2 n， a2 n 1 ，kan也等比。其中 k 04、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数，na1即： an cq ，其中 cq等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数，即：sncq nc(q 1)5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。3最新资料推荐s奇ns奇s偶ana中性s偶n 1s2n 1(2 n1)an项数为偶数2n 的等差数列有：s奇an ， ssnds偶an偶奇1s2nn(anan 1 )质m, amn则 am n06、 ansnsm 则 sm n0( n m)sn m, smn则 sm n(m n)证明一个数列为

9、等差数列的方法：证明1、定义法： an 1and (常数 )方法2、中项法： an 1an 12an (n 2)设三数等差：ad , a, ad元技四数等差：a3d , ad , a d, a 3d巧证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：an 1q(常数 )an2、中项法：20)an 1 an 1 （ an）(n 2, an三数等比：a , a, aq或 a, aq, aq 2 q四数等比：a, aq, aq 2 , aq31、若数列 an是等差数列，则数列c an 是等比数列，公比为 c d ，其中 c 是常数， d 是an 的公差。联系是等比数列，且 an0 ，则数列logalog a

10、 q ，其中2、若数列 aa是等差数列，公差为nna 是常数且 a0,a 1 ， q 是 an 的公比。数列的项 an 与前 n 项和 sn 的关系： ans1(n1)snsn 1(n2)数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an 等差，bn 等比，那么 anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。4最新资料推荐3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中 an等差）anan 1anan

11、 1可裂项为：11 ( 11) ，11( an 1an )an an 1d anan 1aadnn 1等差数列前 n 项和的最值问题：1、若等差数列an的首项 a10 ，公差 d0 ，则前 n 项和 sn 有最大值。（）若已知通项an ，则 sn 最大an0an；10（）若已知snpn 2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时 sn 最大；2 p2、若等差数列an的首项 a10 ，公差 d0 ，则前 n 项和 sn 有最小值（）若已知通项an ，则 sn 最小an0an；10（）若已知snpn 2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时 sn 最小；2 p数列通项的求法：公式法 ：等差数

12、列通项公式；等比数列通项公式。已知 sn （即 a1 a2anf (n) ）求 an ，用作差法 ： ans1,( n 1)。snsn 1,( n 2)f (1),(n 1)已知 a1 a2anf (n) 求 an ，用作商法： af (n)。nf (n1),( n2)已知条件中既有sn 还有 an ，有时先求 sn ，再求 an ；有时也可直接求an 。若 an 1anf ( n) 求 an 用累加法 ： an( anan 1 )( an 1an 2 )(a2 a1 )a1 (n 2) 。已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan1a2a1 (n2) 。anan 1an

13、2a1已知递推关系求an ，用构造法 （构造等差、等比数列）。5最新资料推荐特别地 ，（ 1）形如 an kan 1b 、 an kan 1bn （ k,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后，再求 an ；形如 an kan 1 kn的递推数列都可以除以kn 得到一个等差数列后，再求an 。（ 2）形如 anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1b（ 3）形如 an1 an k 的递推数列都可以用对数法求通项。（8）遇到 an 1 an 1d或 an 1q 时， 分奇数项偶数项讨论 ，结果可能是分段形式an 1数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等

14、差数列求和公式；等比数列求和公式。（ 2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（ 3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） .（ 4）错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（ 5）裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和 . 常用裂项形式有

15、：11)11 ； 11(1n1) ；n(nnn 1n(n k)knk 111 (11) ， 1111111 ；k 2k21 2 k 1 k 1k k 1 (k 1)k k 2(k 1)kk 1 k1111 ；n11；n( n1)(n2)21)(n 1)(n2)(n1)!n!(nn(n1)! 2(n1n )2122(nn1)nn1nnn16最新资料推荐二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 由 sn求 an（ n时， a1s ， n2时， ansnsn 1）113、求差（商）法如： an满足 1 a11a21an2n512222 n解： n1时， 1 a121 5， a1142n

16、 时， 1 a11 a21an12n15222222n 112得： 1nan22 an2n 1an14(n1)2 n 1( n2)练习数列 an满足 snsn 15 an 1， a14，求 an34 、叠乘法例如：数列a中， a， an 1n，求ann13n1an解： a2 a3 an1 2 n1 ， an1a1a2an 123na1n又a13， an3n7最新资料推荐5、等差型递推公式由 anan 1f (n)， a1a0 ，求 an ，用迭加法n2时， a2a1f (2)a3a2f (3)两边相加，得：anan 1f ( n)ana1f ( 2)f (3)f ( n) ana0f(2)f(

17、3)f ( n)练习数列an ， a11， a n3n 1an 1n2 ，求 an6、等比型递推公式an ca n 1d c、 d为常数， c0， c1， d 0可转化为等比数列，设anxc an 1xancan1c1 x令 (c1)xd， xdc 1 and是首项为 a1d， c为公比的等比数列cc11 anda1d c n 1c 1c1 ana1cdcn 1d11c8最新资料推荐练习数列 an满足 a19， aan4，求 an3 n 17、倒数法例如： a1， a2an，求an1n 12an由已知得：1an 211an 12an2an111an 1an21为等差数列，1，公差为 1ana11211n1 11n 1an22 an2n1数列前 n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。an 是公差为 d的等差数列，求n1如：k 1 a k ak 1解： 由11111d 0ak ak 1ak akdd a kak 1n1n111k 1 d akak 1k 1 ak ak 11111111d a1a2a2a3anan 1111da1an 19最新资料推荐练习111求和： 11 2 31 2 3 n1 23 、错位相减法：若 an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列a n bn （差比数列）前 n