概率论-第2章-随机变量及其分布4-5

1、概率论与数理分析第二章 随机变量及其分布,1 随机变量 2 离散型随机变量及其分布律 3 随机变量的分布函数 4 连续型随机变量及其概率密度 5 随机变量的函数的分布,定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x) ， 存在非负实函数f(x)，使得对于任意 实数x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数f(x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,4 连续型随机变量及其概率密度,说明,一.概率密度及其性质,概率密度 f(x) 具有以下性质：,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,注意1,密度函数不是概率！,根据性质4以及导

2、数的定义，有,4 连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量的一个重要特点：,注意 3,4 连续型随机变量及其概率密度,密度函数的概率涵义：,注意 2,证明：,所以有,4 连续型随机变量及其概率密度,说明： 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,4 连续型随机变量及其概率密度,例1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解：由密度函数的性质,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,例2,4 连续型随机变量及其概率密度,例

3、3,4 连续型随机变量及其概率密度,例4,由分布函数的性质,有,解得,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,例 5,某电子元件的寿命（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.,解：设A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,4 连续型随机变量及其概率密度,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验 令：Y=“5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元件数” 则,B= 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 ,4 连续型随机变量及其概率密度,二.一些常用的连续型随机变量

4、,1均匀分布,若随机变量X的密度函数为,记作 X U a , b,4 连续型随机变量及其概率密度,密度函数的验证,4 连续型随机变量及其概率密度,均匀分布的概率背景：,类似地，我们可以定义,区间(a, b)上的均匀分布；,区间a, b)上的均匀分布；,区间(a, b上的均匀分布,4 连续型随机变量及其概率密度,均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。,4 连续型随机变量及其概率密度,均匀分布的分布函数,4 连续型随机变量及其概率密度,例 6 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之

5、间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率 解：设该乘客于7时X分到达此站,4 连续型随机变量及其概率密度,令：B= 候车时间不超过5分钟 ,4 连续型随机变量及其概率密度,例 7,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,2指数分布,如果随机变量 X 的密度函数为,4 连续型随机变量及其概率密度,记作 X Exp(),密度函数的验证,4 连续型随机变量及其概率密度,指数分布的分布函数,注意:,4 连续型随机变量及其概率密度,指数分布的应用 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的

6、服务时间”都常假定服从指数分布。,4 连续型随机变量及其概率密度,指数分布的重要性质,设X服从指 数分布，则,若把X解释为寿命，则上式表明：如果已知某人活了 s 年，则他至少再活 t 年的概率与年龄s 无关，所以人们风趣地称指 数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”-即把过去的年龄忘记了。,4 连续型随机变量及其概率密度,例 8,4 连续型随机变量及其概率密度,令：B= 等待时间为1020分钟 ,4 连续型随机变量及其概率密度,3正态分布,4 连续型随机变量及其概率密度,则称随机变量X服从参数为 的正态分布，记作,4 连续型随机变量及其概率密度,标准正态分布,4 连续型随机变量及其概

7、率密度,密度函数的验证,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,正态分布密度函数的图形性质,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,x,0,4 连续型随机变量及其概率密度,x,0,4 连续型随机变量及其概率密度,正态分布的重要性质：,4 连续型随机变量及其概率密度,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正

8、态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,4 连续型随机变量及其概率密度,标准正态分布的计算,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,一般正态分布的计算,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,例9,4 连续型随机变量及其概率密度,例10,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,例11,4 连续型随机变量及其概

9、率密度,例12,4 连续型随机变量及其概率密度,例13,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,分位点,4 连续型随机变量及其概率密度,4 连续型随机变量及其概率密度,4. -分布.,4 连续型随机变量及其概率密度,- 函 数,4 连续型随机变量及其概率密度,说明：,4 连续型随机变量及其概率密度,说明：,4 连续型随机变量及其概率密度,随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量的函数,5 随机变量的函数的分布,第一种情形,5 随机变量的函数的分布,第二种情形,5 随机变量的函数的分布,例 1,5 随机变量的函数的分布,

10、5 随机变量的函数的分布,设随机变量 X 具有以下的分布律， 试求 Y = (X-1)2 的分布律.,解: Y 有可能取的值为 0，1，4.,且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,例 2,5 随机变量的函数的分布,同理, PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,所以，Y=(X-1)2 的分布律为：,Y=(X-1)2,5 随机变量的函数的分布,例 3,5 随机变量的函数的分布,解,5 随机变量的函数的分布,二.连续型随机变量函数的分布,5 随机变量的函数的分布,解题思路,5 随机变量的函数

11、的分布,设随机变量 X 具有概率密度：,试求 Y=2X+8 的概率密度.,解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：,例 4,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,整理得 Y=2X+8 的概率密度为：,5 随机变量的函数的分布,本例用到变限的定积分的求导公式,5 随机变量的函数的分布,设随机变量 X 具有概率密度,求 Y = X 2 的概率密度.,解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：,例 5,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,例如,设 XN(0,1),其概率密度为：,则 Y = X 2 的概率密度为：,5 随机变量的函数的分布,例6,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,定理,设随机变量 X 具有概率密度,则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,5 随机变量的函数的分布,反函数分别为,均为连续函数，那么,Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为,