数学北师大版九年级下册求二次函数的函数关系式.ppt

1、二次函数的几种解析及求法,二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。,一、二次函数常用的几种解析式的确定,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,1、一般式,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数

2、先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,二、求二次函数解析式的思想方法,1、 求二次函数解析式的常用方法：,2、求二次函数解析式的 常用思想：,3、二次函数解析式的最终形式：,待定系数法、配方法、数形结合等。,转化思想 : 解方程或方程组,无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,解法一： 一般式,设解析式为,顶点C（1，4），,对称轴 x=1.,A(-1,0)与 B关于 x=1对称，,B（3，0）。,A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，,即：,三、应用举例,例1、已知二次

3、函数 的图像如图所示， 求其解析式。,解法二：顶点式,设解析式为,顶点C（1，4）,又A(-1,0)在抛物线上，, a = -1,即：, h=1, k=4.,三、应用举例,-x1,- x2,求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？,（1，0）（3，0）,（2，0）（-1，0）,（-4，0）（-6，0）,(x1,0),( x2,0),y=a(x_)(x_) （a0）,交点式,观察发现：,-x1,- x2,求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？,（1，0）（3，0）,（2，0）（-1，0）,（-4，0）（-6，0）,(x1,0),( x2,0),y=a(x_)(x_) （

4、a0）,交点式,y=a(x-1)(x-3)（a0）,y=a(x-2)(x+1)（a0）,y=a(x+4)(x+6)（a0）,观察发现：,解法三：交点式,设解析式为,抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0）, y = a (x+1) (x- 3),又 C（1，4）在抛物线上, 4 = a (1+1) (1-3), a = -1, y = - ( x+1) (x-3),即：,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,三、应用举例,评析：,刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力

5、，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。,2015年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。,各种求解析式的已知形式,例3、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。,解法：将二次函数的解析式,转化为顶点式得：,(1)、由 向左平移4个单位得：,（左加右减）,（2）、再将 向下平移3个单位得,（上加下减）,即：所求的解析式为,三、应用举例,1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。,四、尝试练习,解：设二次

6、函数的解析式为, x = 1, y= -1 , 顶点（1，-1）。,又（0，0）在抛物线上，, a = 1,即：,2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。,解：设所求的解析式为,抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）,又点（0，1）在图像上，, a = -1,即：,四、尝试练习,一般式：,例1求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.,分析 ：已知一般三点，用待定系数法设为一般式求其解析式.,顶点式：,例2 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 C(2，5)，求其解析式。,D,交点

7、式：,例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。,充分利用条件 合理选用以上三式,例4 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。,分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点 式或交点式求解。,（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。,如图，在直角坐标系中，以点 为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E 若抛物线 经过C、B两点，求抛 物线的解析式,例2、已知：如图，是某一抛物线形

8、拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。,三、应用举例,即：,E,F,a = -0.1,解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形,过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。, OE = BF =（12-8）2 = 2。,O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。,设解析式为,又 A（-2，2）点在图像上，,三、应用举例,例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面

9、宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。,P,Q,(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。,y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6,解： ,顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时，, 船不能通过拱桥。,PQ是对称轴。,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,四、尝试练习,即当x= OC=1.62=0.8米时，过C点作CD

10、AB交抛物线于D点，若y=CD3米，则卡车可以通过。,分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。,四、尝试练习,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。,又P（0，3.6）在图像上，,当x=OC=0.8时，,卡车能通过这个隧道。,四、尝试练习,4、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。,解： 二次函数解析式为,（1）、由 向右平移1个单位得：

11、,（左加右减）,（2）、再把 向上平移4个单位得：,（上加下减）,即：所求的解析式为,刘炜跳投,想一想,5. 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,c,分析：要求出他跳离地面的高度，关键是,1.首先要求出该抛物线的函数关系式,2.由函数关系式求出C点的坐标，即求出点C 离地面的高度h， h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度.,?,h,如图，刘炜在距离篮下4米

12、处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,探索:,C,y,x,o,h,解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05),所以，设所求的抛物线为y=ax3.5,又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得,a=-0.2,即所求抛物线为y=-0.2x3.5,当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m,所以,他跳离地面

13、的高度为0.2m,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,（2）求此抛物线的解析式；,（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为2

14、0m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,解：（1）B（10，0），D（5，3）,（2）设抛物线的函数解析式为,由题意可得：,解得：,抛物线的函数解析式为：,设货车速度为x kmh，能安全通过此桥.,则4x+40280 解得x60,故速度不小于60kmh，货车能安全通过此桥。,（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理

15、由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,解：,设所求的二次函数为y=ax2+bx+c,由已知得：,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程得：,因此：所求二次函数是：,a=2, b=-3, c=5,y=2x2-3x+5,例1 已知一个二次函数的图象过点（1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.,用待定系数法求二次函数的解析式,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上

16、三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。,用待定系数法求二次函数的解析式,解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,例2 已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.,故所求的抛物线解析式为,y=x2+1,用待定系数法求二次函数的解析式,a-b+c=0 a+b+c=0 c=1,解得 a=-1, b=0, c=1,应 用,例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式,解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，,根据题

17、意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点,可得方程组,通过利用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式 过程较繁杂，,评价,设抛物线为y=a(x-20)216,解：,根据题意可知 点(0，0)在抛物线上，,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解， 方法比较灵活,评价, 所求抛物线解析式为,例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式,应 用,桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过、三点的抛物线，以桥面的水平线为轴，经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米，米 1.求经过、三点的抛物线的解析式。 2.求柱子的高度。,如图，现有一横截面是抛物线的水渠一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在水