常系数非齐次线性微分方程.ppt

1、Nonhomogeneous Linear Equations with Constant Coefficients,12.9 常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程：,对应齐次线性微分方程：,谁不会？,还不会,已会了,二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤,(1) 求出对应齐次线性方程 (1) 的通解：,(2) 求出原方程 (1) 的一个特解：y*,(3) 写出原方程 的通解：y = Y + y*,如何求出原方程 的一个特解？,原方程 的一个特解应当具有什么形式？ 这与方程,与自由项 f(x) 的形式有关。,一、 设,其中 Pm(x) 是 m 次多项式,I 型自由项,因为 f

2、(x) 中含有指数函数 因此特解 y* 中也必须有指数函数 设特解,其中 Q(x) 是一个待定的多项式,求导：,再求导：,代入原方程，并约去 ex ，得,(1) 若 不是特征根：,则 Q(x) 与 Pm(x) 是同次多项式：,方程的通解形如：,(2) 若 是特征单根：,则 Q(x) 与 Pm(x) 是同次多项式，Q(x) 是比 Pm(x) 高一次的多项式：,方程的通解形如：,但,Qm1(x) 的零次幂不起作用,(3) 若 是特征重根：,则 Q(x) 与 Pm(x) 是同次多项式，Q(x) 是比 Pm(x) 高 2 次的多项式：,方程的通解形如：,且,Qm2(x) 的零次幂和一次幂不起作用,综上

3、所述，,的特解形式为：,当 不是特征根,当 是特征单根,当 是特征重根,将Qm(x) 代入方程 (3)，比较两端同次幂的系数 即可求出待定系数：a0, a1, , am,此公式见学习手册338页,特别地，,特解形式为：,当 0 不是特征根,当 0 是特征单根,当 0 是特征重根,此公式见 学习手册339页,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：, = 0,因为 = 0 不是特征根，设特解：,求导：,代入原方程：,比较两端同次幂的系数，得,通解：,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：, = -1,因为 = -1是特征单根，设特解：,代入公式 (3):

4、,通解：,例,求通解：,解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：, = 1,因为 = 1是特征重根，设特解：,二重根,代入公式 (3):,通解：,二、,II 型自由项,不作要求 略讲或自学,例如,特点：必需有三角函数,特解的设法： 设,当,不是特征根,当,是特征根,例 3,求通解：,解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：,不是特征根,不是特征根,设特解：,求导：,再求导：,代入原方程，得：,比较 sin2x, cos2x 的系数，得,解出：,特解：,通解：,wffc:=diff(y(x),x$2)+y(x)=x*cos(2*x): tongjie:=dsolve(wffc,y(x): toplot:=seq(seq(rhs(tongjie),_C1=-3.3),_C2=-3.3): plot(toplot,x=-2.2,y=-5.5,color=blue);,wffc:=diff(y(x),x$2)+y(x)=0: tongjie:=dsolve(wffc,y(x): toplot:=seq(seq(rhs(