第七章根轨迹法.ppt

1、College of Automatic Control Engineering , CUIT,第七章 根轨迹法 The Root Locus Method,本章主要内容： 根轨迹的概念 绘制根轨迹的一般方法 利用根轨迹进行系统分析与设计 计算机辅助分析 设计实例,教学目标： 深刻理解根轨迹的概念及在系统分析设计中的作用 熟练掌握手工绘制根轨迹草图的方法并熟练绘制给定系统根轨迹图 熟练掌握利用计算机绘制根轨迹图 充分认识根轨迹在系统分析和参数设计中的重要作用，并能熟练利用根轨迹进行系统性能分析和参数选择。 熟悉PID控制器的控制作用 具备利用根轨迹分析设计系统的能力,参阅教材第7章，P281-

2、325,College of Automatic Control Engineering , CUIT,7.1 根轨迹的概念,通过前面几章的学习可以看到：控制系统的稳定性、动态性能与系统闭环特征根在s 平面的位置密切相关。 一方面通过闭环特征根位置可以确定系统是否稳定及稳定的程度、确定系统性能指标；（系统分析） 另一方面，通过调整系统结构或参数以改变特征根的位置，使系统满足一定的性能要求。（系统设计）,研究在给定系统参数发生变化时，其特征根在s平面上的位置变化规律对系统分析和设计十分重要和有意义。这一过程就是根轨迹法。,根轨迹法是一种图解法，通过作图获取系统性能或参数的定量信息。,根轨迹法是由

3、Evans在1948年最先提出，在控制工程实践中不断完善和广泛应用。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,引例：系统结构图如图，分析 特征根随开环增益K变化的趋势。,解.,一、根轨迹及根轨迹方程,College of Automatic Control Engineering , CUIT,根轨迹定义：,1、根轨迹定义,根轨迹是系统某一参数从0变化到无穷时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。,由图可得：,College of Automatic Control Engineering , CUIT, 幅值条件, 相角条件, 根轨迹方程

4、,2、根轨迹方程,KG*称为根轨迹参数，在其变化时， 闭环特征根随之不同，且根为复数。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,二、其它参数变化时的根轨迹,不是以K而是以a为参数的根轨迹,s2asK=0,系统特征方程：,变形后：,于是当在根s1处满足 ：,相角条件,幅值条件,根s1就是系统的闭环根。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,绘制根轨迹的方法： 1）按基本法则（以下讲述）手工绘制； 2）用Matlab绘制： r,K=rlocus(sys) rlocfind(sys),

5、num=1;den=conv(1 1,1 5); sys=tf(num,den); rlocus(sys) rlocfind(sys) Select a point in the graphics window selected_point = -2.9917 + 0.5435i ans = 4.2953,7.2 绘制根轨迹的一般方法,College of Automatic Control Engineering , CUIT,手工快速绘制根轨迹草图的7个步骤,第1步：绘图准备,1F(s)=1+G(s)H(s)=0,并整理成：,1KP(s)=0,（2）将P(s)写成n个极点和M个零点的因子相

6、乘形式,（3）用相应的符号将P(s)的极点和零点标在s平面上。,当K=0时，特性方程的根就是P(s)的极点。而当K趋向无穷大时特征方程的根就是P(s)的M个零点和n-M个无穷处。,（1）写出特征方程式：,以便使关心的参数K与其它项相乘,当K由0变化到无穷大时，特征方程的根轨迹从P(s)的极点开始而终止在P(s)的零点和无穷大处。,（4）确定根轨迹的分枝数SL。SL=n,（5）根轨迹关于s平面实轴对称,College of Automatic Control Engineering , CUIT,第2步: 确定实轴上的根轨迹段。,若实轴上某一段右边的开环零点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨

7、迹段。,例1. 二阶系统,Z= - 2, p1= 0, p2= - 4,College of Automatic Control Engineering , CUIT,第3步: 确定趋向无穷远处根轨迹段的渐近线。,随着参数K趋于无穷，将有n-M条根轨迹趋向于无穷远处。其方向由渐近线确定。渐近线与实轴夹角及与实轴交点为：,有3条趋向无穷远处根轨迹段的渐近线。,渐近线的交点:,渐近线的倾角:,College of Automatic Control Engineering , CUIT,第3步: 确定趋向无穷远处根轨迹段的渐近线（续）,College of Automatic Control En

8、gineering , CUIT,第4步: 确定实轴上根轨迹分离点与会合点。,根轨迹离开实轴的点称分离点，一般出现在有两个相邻的实轴上的开环极点之间。根轨迹到达实轴的点称为会合点，一般出现在两个相邻的实轴上的开环零点之间。,求分离（会合）点的方法2是求解一下方程，其中zi 为开环零点，pi为开环极点，为分离（会合）点。,求分离（会合）点直接的方法1是重新整理特征方程，将乘积因子K与F(s)分离，并将特征方程整理成K=p(s)形式。通过以下方程求分离（会合）点。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,例3 三阶系统,方法1：重新整理特征方

9、程为：,由根轨迹知分离点位于(-2，-3)之间，解上述方程得：s=2.465,分离角（或会合角）：,会合（或分离）的根轨迹的条数,分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角,College of Automatic Control Engineering , CUIT,方法2：重新整理特征方程为：,例3 三阶系统,由根轨迹知分离点位于(-2，-3)之间，解上述方程得：s=2.465,College of Automatic Control Engineering , CUIT,College of Automatic Control Engineering , CUIT,温故知新,1、根轨迹

10、的定义？ 2、手工绘制根轨迹图的步骤： 第一步：特征方程的整理、零点、极点的标注 第二步：实轴上根轨迹的确定 第三步：渐近线的确定 第四步：分离点（汇合点）的确定,College of Automatic Control Engineering , CUIT,第5步: 确定根轨迹与虚轴的交点。,如果根轨迹与虚轴相交时，表明特征方程有共轭虚根，系统将处于临界稳定状态。可以用如下方法求得此交点及参数K值,方法：应用劳斯判据求出系统处于临界稳定的K值，同时由辅助方程求得共轭虚根值。,方法：将代入特征方程,联立求解，根轨迹与虚轴的 交点值和相应的临界K值。,College of Automatic C

11、ontrol Engineering , CUIT,所有开环有限零点到被测极点的矢量角,除被测极点外的所有开环有限极点到被测极点的矢量角,0360,所有开环有限极点到被测零点的矢量角,除被测零点外的所有开环有限零点到被测零点的矢量角,出射角,入射角,第6步: 确定根轨迹在极点处的出射角和到达零点处的入射角。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,练习,已知,求极点p4的出射角。,解：极点p4的出射角为：,第7步: 完成根轨迹图。,说明：利用相角条件可以求出所有根的位置，利用幅值条件可以求出闭环根对应的参数K值。,College of A

12、utomatic Control Engineering , CUIT,试绘制系统完整的根轨迹。,（1）无开环零点，有三个开环极点为:,在实轴上根轨迹(-，0,例4. 负反馈系统开环传递函数为：,解:,（2）有3条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点：,（3）不存在分离点,（4）与虚轴的交点： 令,College of Automatic Control Engineering , CUIT,（5）起始角（出射角）,（6）绘制根轨迹,College of Automatic Control Engineering , CUIT,例5. 绘出系统的根轨迹，其特征方程,解： 1 、用极点和零点形式

13、表示特征方程式。,极点和零点在s平面上的分布图,在实轴s=0和s=4之间为根轨迹。,因为极点数目为4，所以有4条根轨迹。,2、渐近线的倾角和交点为,College of Automatic Control Engineering , CUIT,4. 与虚轴的交点。,s(s4)(s28s32)k=s412s364s2128sK=0. Routh表 s4164K s312128 s2b1K s1c1 sK,因此临界稳定的增益值是K=568.89，求虚根的辅助方程是,53.33s2568.89=53.33(s210.67)=53.33(sj3.266)(sj3.266)=0,根轨迹和虚轴的交点为：s

14、=j3.266, s=-3.266。,分离点在s=4和s=0之间，重新排列特征方程为：,K=p(s)= s(s4)(s4j4)(s4j4),由dp(s)/ds=0可得：,s=-1.5767,3. 求分离点。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,5.求复数极点p1处的出射角,可算得p1共轭极点的出射角是135,1=180-(135+ 90+ 90)=-135,由相角条件可得：,6.完整绘制根轨迹图,College of Automatic Control Engineering , CUIT,温故知新,2、手工绘制根轨迹图的步骤： 第一

15、步：特征方程的整理、零点、极点的标注 第二步：实轴上根轨迹 第三步：渐近线 第四步：分离点（汇合点） 第五步：与虚轴的交点 第六步：出射角、入射角 第七步：完成绘图,College of Automatic Control Engineering , CUIT,与虚轴交点,绘制根轨迹的最终目的是进行系统性能分析和系统设计。其理论基础是系统特征根位置与系统性能间的关系。本节介绍系统性能分析，后续节介绍设计问题。,一、根轨迹与系统响应模态的关系,以一个三阶系统为例，根轨迹如图。,稳定性：KK2 ,不稳定。,动态响应：,分离会合点 临界阻尼,0KK1 ：过阻尼，无振荡单调变化。,K1KK2 ：主导极

16、点欠阻尼，另有一负实根。 系统振荡衰减。,K=K2 ：主导极点无阻尼，另有一负实根。 系统等幅振荡，振荡频率0。,7.3 利用根轨迹进行系统性能分析,College of Automatic Control Engineering , CUIT,二、根轨迹与系统性能指标的关系,重点讨论K1KK2 欠阻尼情况,（1）等阻尼线,已知阻尼情况下，绘制等阻尼线即可获得共轭极点及K值。事实上，在根平面可以事先绘制等阻尼线，以便选择主导极点及K。,（2）等自然振荡频率（n）线,共轭复数极点至原点的距离为n，所以以n为半径，原点为圆心可以绘制等n线。,在求得和n后，可以很容易计算得到系统性能指标。,后面会看

17、到，在用Matlab的rlocus()函数绘制根轨迹图时，Grid函数给出的栅格就是等线和等n线。,等阻尼线,College of Automatic Control Engineering , CUIT,例1. 带钢热轧机控制系统如图。(习题P7.16),在不考虑时间常数T 时， （1）画出以Ka为参数的根轨迹; （2）确定Ka取值，使闭环极点的阻尼满足0.707； （3）当T逐渐增大时，确定它对系统性能的影响。,解:,（1）在T=0 时，电机及轧辊内回路的传递函数为：,系统开环传递函数为：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,（2

18、）确定=0.707时的极点及Ka，,由arccos(0.707)=45度，知：,靠近虚轴的特征根应为：,s= -aja,代入特征方程求a及Ka,得到a=0.15，Ka=0.246,四个极点为：,-1.1439 + 0.3464i -1.1439 - 0.3464i -0.1061 + 0.2736i -0.1061 - 0.2736i,例1. 带钢热轧机控制系统如图。(习题P7.16),College of Automatic Control Engineering , CUIT,（3）当T从小向大变化时，增加了一个实轴极点从左向右变化。,T=0.1时根轨迹,系统稳定域变小。在稳定域内系统阻尼

19、变小，振荡加剧。,T=10时根轨迹,系统稳定域明显变小。在稳定域内系统阻尼变小，振荡进一步加剧。,T=1时根轨迹,例1. 带钢热轧机控制系统如图。(习题P7.16),College of Automatic Control Engineering , CUIT,例2 已知系统结构图，K*= 0，绘制根轨迹并确定：, 使系统稳定且为欠阻尼时开环增益 K 的取值范围；, 当 3=-5 时，1，2=？相应 K=?, 复极点对应=0.5 (=60o) 时的 K 值及闭环极点位置；, 当K*=4 时，求1, 2, 3 并估算系统动态指标( P.O.,Ts)。,College of Automatic C

20、ontrol Engineering , CUIT,解. 绘制根轨迹,渐近线：,实轴上的根轨迹：（-,-4, -2,0, 分离点：, 虚轴交点：,例2,College of Automatic Control Engineering , CUIT,依题，对应,应有：,比较系数, 使系统稳定且为欠阻尼时开环增益K取值范围,复极点对应=0.5 (=60o) 时的 K 值及闭环极点位置,设,由根之和,解根：,例2,College of Automatic Control Engineering , CUIT, 当 3=-5 时，1，2=？相应 K=?, 当 K*=4 时， 求1, 2, 3 并估算系

21、统动态指标( P.O.,Ts),解根：,试根,令,例2,College of Automatic Control Engineering , CUIT,视 l1,2 为主导极点, 当 K*=4 时， 求1, 2, 3 并估算系统动态指标( P.O.,Ts),例2,College of Automatic Control Engineering , CUIT,练习1：已知某单位负反馈系统的开环传函为：,要求： 1）绘制系统概略根轨迹图； 2）使系统稳定的开环增益K的范围； 3）已知当K*=24时，该系统的一个闭环极点是-6，则写出此时闭环系统的传递函数； 4）估算P.O.=16.3%时的K值；

22、5）估算无阻尼、响应无超调时的时开环增益K*取值。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,1,3,极点：,0、-2、-5,，零点：,3个无限零点,，分支数：,有3条,渐近线：,有3条（nm3), 令k=0、1、2,1）绘制根轨迹图：,2实轴上的根轨迹：,-2，0,-5，-）,4分离点：,在实轴上有根轨迹分离点，且在区段-2到0之间,（舍去）,分离角：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,5与虚轴的交点：运用Routh判据,系统临界稳定的条件：,阵列中s2行元素构成辅助方程,6无

23、复平面上的零点及极点，因此没有出射角、入射角,College of Automatic Control Engineering , CUIT,根轨迹如图所示：,2）系统稳定的K值范围：,系统进入右半平面之前，系统均可稳定， 所以，稳定的K值范围：0K*70，即： 0K7,College of Automatic Control Engineering , CUIT,3）当K*=24时闭环传函的求取：,特征方程：,闭环传函为：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,4）,当P.O.=16.3%时的K值求取：,作阻尼角为60度的阻尼线与 根

24、轨迹相交s1：其余两个 与根轨迹的交点： s2 ，s3,College of Automatic Control Engineering , CUIT,比较系数得：,代入特征方程：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,5）无阻尼、响应无超调时的时开环增益K*取值,无阻尼，,即：根轨迹与虚轴相交时：,临界阻尼，,即：根轨迹实轴分离点处：,响应出现超调（或说衰减振荡）， 即：根轨迹离开实轴进入左半复平面：,响应单调变化（或说无超调） 即：根轨迹没有进入左半复平面：,College of Automatic Control Engineer

25、ing , CUIT,clear close all % 建立开环传递函数模型 G=zpk(, 0 -2 -5, 1); z=0.5; % 绘制相应系统的根轨迹 figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比为0.5 axis(-5.5 0.5 -6 6) K=24; r=rlocus(G,K),College of Automatic Control Engineering , CUIT,College of Automatic Control Engineering , CUIT,College of Automatic Control Engineer

26、ing , CUIT,College of Automatic Control Engineering , CUIT,7.4 利用根轨迹进行参数设计广义根轨迹,根轨迹法所讨论的基本问题是：系统特征根随一个参数变化的规律,实际工程问题：需要研究系统特征根随两个或两个以上参数变化的规律，从而设计（选定）这些参数。,一个动态系统的特征方程式：ansn an1sn1 a1s a0 =0,一、设计参数的分离,若a1为设计参数，则：,若参数a不是作为一个独立系数出现 ansn an1sn1( anq+)snq a1s a0 =0 参数可分离为,例，三阶系统特征方程：s3(3)s23s6=0，分离出参数,a

27、nsn an1sn1anqsnq + snq a1s a0 =0,College of Automatic Control Engineering , CUIT,对有二个变参数和的特征方程式 ansn an1sn1anqsnqsnq anr snrsnr a1sa0=0,要研究两个参数对系统的影响，在这两个参数可分离的情况下，处理的方法是：重复使用根轨迹法两次。即在确定的影响后再确定的影响。,讨论有和作为参数的三阶系统，特征方程：s3s2s=0,二、两个参数根轨迹的绘制,参数由零变化到无穷大时根轨迹方程：,注意到在=0时，上式分母是系统的特征方程式。所以首先用下式研究当由零变到无穷大时的影响：

28、 s3s2=0。,将其重写为：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,先绘制 的根轨迹,取定某一个 = 1，再绘制变化时的根轨迹。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,例1: 焊接头控制系统设计 汽车车体自动焊枪需要一个高精度的焊枪头位置控制系统（如图），设计要求为：,（1）对斜坡输入的稳态误差 小于斜坡幅度的30%； （2）主导极点的阻尼0.707； （3）按2%准则的调节时间3s。,解:,（1）设斜坡输入R(s)=R/s2,开环传递函数：,速度误差系数：,由稳态误差要求得,

29、为减小稳态误差，需选择一个小的K2值。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,（2）主导极点阻尼0.707， 意味着主导极点必须位于s左半平面45度扇形区域。,（3）按2%准则的调节时间3s，即：,表明主导极点位于右图阴影区域。,设待选择的参数为=K1和=K1K2。系统特征方程为：,当=K1变化时（设=0）的根轨迹由下面的方程确定：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,改变=20K2 的根轨迹方程：,= K1变化时的根轨迹,选=K1=20，变化时的根轨迹,=0.707,从而，在

30、=K1=20， =0.707， 求得=20K2=4.3 K2=0.215。 n=3.15， 调节时间： Ts=4/3.15 =1.27s ess=6.3/20 =0.315 满足设计要求。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,将和变化时的根轨迹绘在同一张图上，构成根轨迹族曲线。,例如，和变化的特征方程式： s33s22ss=0.,变化的根轨迹方程 （设=0）：,变化的根轨迹方程：,绘在同一张图上的根轨迹族曲线。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,在工业过程控制中广泛使用的一

31、种控制器形式叫做PID控制器。它的传递函数为：,该控制器包括比例项，积分项和微分项。时域的输出是：,微分项的传递函数是：,但d通常比过程的时间常数小很多，可忽略。,工程上可以根据需要将PID控制器分开分别使用,比例控制器（KI,KD=0）,比例积分控制器（PI）,比例微分控制器（PD）,7.5 PID控制器,College of Automatic Control Engineering , CUIT,PID控制器在工业上广泛应用一方面是由于它能在各种不同的工作条件下保持良好的控制性能，即鲁棒性好；另一方面是由于其结构简单，便于参数调整和使用。 为了有效使用这种控制器，必须根据给定的对象确定它

32、的三个参数：比例增益、积分增益和微分增益。工程上称为参数整定。,采用根轨迹分析PID控制的控制作用，考虑PID控制器传递函数：,式中a=K1/K3, b=K2/K3。 PID控制器在原点有一个极点，在s左半面有二个零点。,College of Automatic Control Engineering , CUIT,考虑由PID组成的控制系统,绘制系统随K3变化的根轨迹,假定控制器两个零点为：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,讨论： 选择控制器Kp、Ki、Kd三个参数，可以改变零点z1、z2的位置，从而改变根轨迹的形状及使K3在根

33、轨迹上移动，得到合适的闭环系统主导极点。 本例中可得到很好的系统性能。 零点z1、z2向左移动，可使系统响应时间Ts减小。 零点向负实轴方向移动，可增大系统阻尼。 积分的存在，使系统开环变成I型，阶跃响应是无稳态误差的。,1.如何保证零点z1、z2 为共轭复数？ 2.若z1、z2为实数，根轨迹如何变化？,College of Automatic Control Engineering , CUIT,设计实例：汽车速度控制,问题描述：汽车电子市场正在以5%/年的速度增长，智能汽车和智能高速公路的建设将是未来发展趋势。控制技术将在其中发挥重要作用。,College of Automatic Cont