初中经典几何证明练习题(含答案)

1、.初 中 几 何 证 明 题经典题（一）1、已知：如图，o 是半圆的圆心，c、 e 是圆上的两点，cd ab ， ef ab ，eg co求证： cd gf证明：过点g 作 gh ab 于 h ，连接 oe eg co， ef ab ego=90 ， efo=90 ego+ efo=180 e、 g、 o、 f 四点共圆 geo= hfg ego= fhg=90 ego fhgeogo=fghg gh ab ，cd ab gh cd go cohgcd eo cofgcd eo=co cd=gf2、已知：如图，p 是正方形abcd 内部的一点，pad pda 15。求证： pbc 是正三角形

2、（初二）证明：作正三角形adm ，连接 mp mad=60 ， pad=15 map= mad+ pad=75 bad=90 ， pad=15 bap= bad- pad=90 -15 =75 bap= map ma=ba ， ap=ap map bap bpa= mpa ，mp=bp同理 cpd= mpd ， mp=cp pad pda 15 pa=pd， bap= cdp=75 ba=cd bap cdp bpa= cpd bpa= mpa ， cpd= mpd mpa= mpd=75 bpc=360 -75 4=60 mp=bp ， mp=cp bp=cp bpc 是正三角形.3、已知：

3、如图，在四边形abcd 中， ad bc ，m 、n 分别是 ab 、 cd 的中点， ad 、bc 的延长线交mn于 e、 f求证： den f证明 :连接 ac ，取 ac 的中点 g,连接 ng 、 mg cn=dn ， cg=dg gn ad ，gn= 1 ad2 den= gnm am=bm ， ag=cg gm bc， gm= 1 bc2 f=gmn ad=bc gn=gm gmn= gnm den= f经典题（二）1、已知： abc 中， h 为垂心（各边高线的交点）， o 为外心，且om bc 于 m （ 1）求证： ah 2om ；（ 2）若 bac 600，求证： ah a

4、o （初二）证明：（ 1）延长 ad 交圆于 f，连接 bf，过点 o 作 og ad 于 g og af ag=fg ab=ab f=acb又 ad bc， beac bhd+ dbh=90 acb+ dbh=90 acb= bhd f=bhd bh=bf 又 ad bc dh=df ah=ag+gh=fg+gh=gh+dh+df+gh=2gh+2dh=2（ gh+dh ） =2gd又 ad bc， om bc，og ad四边形 omdg 是矩形 om=gd ah=2om（ 2）连接 ob 、 oc bac=60 boc=120 ob=oc ， om bc bom= 1 boc=60 obm

5、=302 bo=2om由（ 1）知 ah=2om ah=bo=ao.2、设 mn 是圆 o 外一条直线，过o 作 oa mn 于 a ，自 a 引圆的两条割线交圆o 于 b、 c 及 d、 e，连接 cd 并延长交mn 于 q，连接 eb 并延长交mn 于 p.求证： ap aq 证明：作点e 关于 ag 的对称点f，连接 af 、 cf、 qf ag pq pag= qag=90 又 gae= gaf pag+ gae= qag+ gaf即 pae= qaf e、 f、 c、d 四点共圆 aef+ fcq=180 efag ， pq ag efpq paf= afe af=ae afe= a

6、ef aef= paf paf+ qaf=180 fcq= qaf f、 c、 a 、 q 四点共圆 afq= acq又 aep= acq afq= aep在 aep 和 afq 中 afq= aep af=ae qaf= pae aep afq ap=aq3、设 mn 是圆 o 的弦，过mn 的中点 a 任作两弦 bc 、de ，设 cd 、 eb 分别交 mn 于 p、q求证： ap aq （初二）证明：作 of cd 于 f， og be 于 g，连接 op、 oq 、 oa 、 af 、 ag c、 d、 b、 e 四点共圆 b= d ， e=c abe adc ab be 2bg b

7、gaddc2fddf abg adf agb= afd age= afc am=an ， oa mn又 og be， oaq+ ogq=180 o、a 、 q、 e 四点共圆 aoq= age同理 aop= afc aoq= aop又 oaq= oap=90 ， oa=oa oaq oap ap=aq.4、如图 ,分别以 abc 的 ab 和 ac 为一边 ,在 abc 的外侧作正方形abfg 和正方形acde ，点 o 是 df的中点， op bc求证： bc=2op （初二）证明：分别过f、 a 、 d 作直线 bc 的垂线，垂足分别是l 、 m 、 n of=od ， dn opfl p

8、n=pl op 是梯形 dfln 的中位线 dn+fl=2op abfg 是正方形 abm+ fbl=90 又 bfl+ fbl=90 abm= bfl又 flb= bma=90 ， bf=ab bfl abm fl=bm同理 amc cnd cm=dn bm+cn=fl+dn bc=fl+dn=2op经典题（三）1、如图，四边形abcd 为正方形， de ac ，ae ac ， ae 与 cd 相交于 f求证： cecf（初二）证明：连接bd 交 ac 于 o。过点 e 作 eg ac 于 g abcd 是正方形 bd ac 又 eg ac bd eg 又 deac odeg 是平行四边形又

9、 cod=90 odeg 是矩形 eg=od= 1 bd= 1 ac= 1 ae222 eag=30 ac=ae ace= aec=75 又 afd=90 -15 =75 cfe= afd=75 = aec ce=cf.2、如图，四边形abcd 为正方形，求证： ae af （初二）证明：连接bd ，过点 e 作 egac abcd 是正方形 bd ac ，又 eg ac bd eg 又 deac odeg 是平行四边形又 cod=90 de ac ，且 ce ca ，直线 ec 交 da 延长线于f于 g cae= cea= 1 gce=15 2 odeg 是矩形 eg = od = 1 b

10、d= 1 ac= 1 ce222 gce=30 ac=ec在 afc 中 f =180 -fac- acf =180 -fac- gce =180 -135 -30 =15 f= cea ae=af3、设 p 是正方形 abcd 一边 bc 上的任一点， pfap ，cf 平分 dce求证： pa pf（初二）证明：过点f 作 fg ce 于 g，fh cd 于 h cd cg hcgf 是矩形 hcf= gcf fh=fg hcgf 是正方形 cg=gf ap fp设 ab= x， bp=y， cg=z apb+ fpg=90 z： y= （x-y+z ）： x apb+ bap=90 化简

11、得（ x-y） y=（x-y） z fpg= bap x-y 0又 fgp=pba y=z fgp pba即 bp=fg fg： pb=pg ：ab abp pgf4、如图， pc 切圆 o 于 c， ac 为圆的直径， pef 为圆的割线， ae 、 af 与直线 po 相交于 b 、 d求证： ab dc， bc ad （初三）证明：过点 e 作 ek bd ，分别交 ac 、 af 于 m 、 k ，取 ef 的中点 h，连接 oh 、 mh 、 ec eh=fh oh ef， pho=90 em=km又 pcoc， poc=90 ek bd p、 c、 h、 o 四点共圆 obaood

12、 hco= hpoemamkm又 ek bd ， hpo= hekob=od hcm= hem又 ao=co h 、 c、 e、 m 四点共圆四边形 abcd的对角 ecm= ehm线互相平分又 ecm= efaabcd 是平行四边形 ehm= efaab=dc， bc=ad hm ac eh=fh.经典题 ( 四)1、已知： abc 是正三角形， p 是三角形内一点， pa 3， pb 4， pc 5 a求 apb 的度数（初二）解：将 abp 绕点 b 顺时针方向旋转60得 bcq ，连接 pq则 bpq 是正三角形p bqp=60 ， pq=pb=3在 pqc 中， pq=4， cq=a

13、p=3 ，pc=5 pqc 是直角三角形 pqc=90 bqc= bqp+ pqc=60 +90 =150b apb= bqc=150 2、设 p 是平行四边形 abcd 内部的一点，且pba pda 求证： pab pcb（初二）a证明：过点 p 作 ad 的平行线，过点a 作 pd 的平行线，两平行线相交于点 e，连接 be pead ， ae pd adpe 是平行四边形e pe=ad ，又 abcd 是平行四边形 ad=bcb pe=bc又 pe ad ， ad bc又 adp= abp pebc aep= abp bcpe 是平行四边形 a 、 e、 b 、p 四点共圆 bep= p

14、cb bep= pab adpe 是平行四边形 pab= pcb adp= aep3、设 abcd 为圆内接凸四边形，求证：ab cd ad bc ac bd （初三）证明：在 bd 上去一点 e，使 bce= acda cd =cd cad= cbdcqdpcd bec adc bebceadac ad bc=be ac bce= acdbc bce+ ace= acd+ ace即 bca= ecd+得 ab cd+ ad bc =de ac+ be ac bc=bc , bac= bdc=（ de+be ）ac bac edc=bd ac abacdecd ab cd=de ac .4、平

15、行四边形abcd 中，设 e、 f 分别是 bc 、 ab 上的一点， ae 与 cf 相交于 p，且ae cf求证： dpa dpc（初二）证明：过点 d 作 dg ae 于 g，作 dh fc 于 h ，连接 df、 dea s ade =11f2 ae dg， s fdc=2 fc dhg1又 s ade = s fdc=2 sabcdp h ae dg=fc dh又 ae=cfbe c dg=dh点 d 在 apc 的角平分线上 dpa dpc.d经典题（五）1、设 p 是边长为1 的正 abc 内任一点， l pa pb pc， 求证：证明：（ 1）将 bpc 绕 b 点顺时针旋转6

16、0的 bef ，连接 pe， bp=be ， pbe=60 pbe 是正三角形。 pe=pb 又 ef=pc l=pa+pb+pc=pa+pe+ef当 pa、 pe、 ef 在一条直线上的时候，l=pa+pe+ef 的值最小（如图）在 abf 中， abp=120 af=3 l=pa+pb+pc 3（ 2）过点 p 作 bc 的平行线分别交ab 、 ac 于 d、 g则 adg 是正三角形 adp= agp ，ag=dg apd agp apd adp ad pa又 bd+pd pbcg+pg pc + +得 ad+bd+cg+pd+pg pa+pb+pc ab+cg+dg=ab+cg+ag=

17、ab+ac pa+pb+pc=l ab=ac=1 l 2由（ 1）（ 2）可知：3 l 23 l 2agdpcbef.2、已知： p 是边长为1 的正方形 abcd 内的一点，求pa pb pc 的最小值a解：将 bcp 绕点 b 顺时针旋转 60得 bef ，连接 pe，则 bpe 是正三角形 pe=pbpa pbpc=pa+pe+efb要使 pa pb pc 最小，则 pa、 pe、 ef 应该在一条直线上（如图）此时 af= pa+pe+ef过点 f 作 fg ab 的延长线于 g则 gbf=180 - abf=180 -150=30 g gf=1， bg=32222 af=gf 2ag

18、2=131 = 2322 pa pb pc 的最小值是233、 p 为正方形 abcd 内的一点，并且pa a，pb 2a， pc 3a，求正方形的边长证明：将 abp 绕点 b 顺时针旋转a90得 bcq ，连接 pq则 bpq 是等腰直角三角形，p pq= 2 pb= 2 2a=2 2 a又 qc=ap=a.dpecfd qp2+qc2=(22 a)2+a2=9a2=pc2cb pqc 是直角三角形q bqc=135 bc2 =bq 2+cq 2-2bq cq cos bqc=pb2+pa 2-2pb pacos135 2=4a2+a2-2 2aa (-)2解得 bc=522 a正方形的边

19、长为52 2 a.4、如图， abc 中， abc acb 80， d、 e 分别是 ab 、 ac 上的点， dca 30， eba 20，求 bed 的度数a解：在 ab 上取一点 f，使 bcf=60 ， cf 交 be 于 g，连接 ef、 dg abc=80 ， abe=20 ， ebc=60 ，又 bcg=60 bcg 是正三角形 bg=bc acb=80 ， bcg=60 fca=20 eba= fca又 a= a ， ab=ac abe acf ae=af1 afe= aef= 2（ 180 - a ） =80 又 abc=80 =afe ef bc efg= bcg=60 fe efg 是等边三角形 ef=eg ， feg= egf= efg=60 acb=80 ， dca=30 bcd=50 dg bdc=180 - bcd- abc=180 -50 -80=50 bcd= bd