概率论与数理统计第一章.ppt

1、第四节 条件概率(二),Conditional Probability,全概率公式和贝叶斯公式,Total Probability Theorem And Bayes Rule,引例：,已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？,A,定义1 设为随机试验E的样本空间， B1，B2，Bn为 E的一组事件， 如果,(1) Bi Bj= （ij）;,则称B1，B2，Bn为样本空间的一个划分。,(2),定理1 全概率公式,引例：,已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相

2、等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？,解：A表示“随机选一人是色盲患者” 表示“随机选一人是男性” 表示“随机选一人是男性”,例1 一保险公司据以往的资料知道来投保的客户可分为两类，一类是容易出事故的，另一类则不是。前一类在一年中出一次事故的概率为0.1，后一类则为0.05。一新来的投保客户属于易出事故一类的概率为0.2。求一新来投保客户在第一年内出一次事故的概率。,例2 今有三个盒子，第一个盒子内有7只红球和3只黄球；第二个盒子内有5只蓝球5只白球；第三个盒子内有8只蓝球和2只白球。现在第一个盒子中任取一球，若取到红球则在第二个盒子中任取两球；若取到黄球则在第三只盒子中任

3、取两球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。,练习 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3,0.1，0；求他迟到的概率,例3 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概

4、率.,或者问:,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因.,定理2 贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.,练习 某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12。 （1）求他迟到的概率； （2）如果他迟到了，试推断他是怎么来的，说说你的理由。,例4 据以往的临床记录，某种诊断糖尿病的试验具有以下的效果：若一被诊断者患有糖尿病则试

5、验结果呈阳性的概率为0.90；若一被诊断者未患糖尿病，则试验结果呈阳性的概率为0.06。又已知受试验的人群患糖尿病的概率为0.03。如果一被诊断者其试验结果呈阳性，求此人患糖尿病的条件概率。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的先验概率和后验概率.,P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计.,在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为

6、作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化.,P(A1 | B),知道B 发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),例5 在电报通信中不断发出信号0和1，统计资料表明发出0和1的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，分别以概率0.7和0. 1接收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号“x”；发出1时，分别以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信号“x”。 （1）求收到模糊信号“x”的概率； （2）当收到模糊信号“x”时

7、，译成哪个信号为好，为什么？,0.6,0.4,（1）求收到模糊信号“x”的概率； （2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号为好，为什么？,例6 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据已往的纪录有以下数据，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？,元件制造厂 次品率 提供晶体 管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）

8、在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？,练习： 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的合格品的概率依次为96%、98%、95%。现从待出厂的产品中检查出了一个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？,练习： 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早晨机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,这一节我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式

9、的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .,小结,全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因,第五节 事件的独立性,Event Independence,New,A,B是试验E的两个事件，若P(B)0,可以定义P(A|B),此时有 P(AB)= P(A)P(B),显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,

10、设,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B),用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.,P(AB)=P(A|B)P(B),一、两个事件相互独立,mutual independence,定义1 定理1,例1 设P(A)0, P(B)0,则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。,事件独立的例题：,例2 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别是0.5和0.4。现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是多少？,例3 设0P(A)1，且P(B|A)=P(B|A )，

11、试证：A、B相互独立.,二、多个事件相互独立性,mutual independence,定义2 定义3 定理2,例4 现有四张卡片，其中第一张只写有1，第二张只写有2，第三张只写有3，第四张上写有1，2，3三个数字。现从中任取一张卡片，设A，B，C分别表示抽到写有数字1，2，3的卡片，则有P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2, P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4, P(ABC)=1/4. 显然 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C两两相互独立，但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

12、,定义3：对n个事件 ,若下面的等式同时成立,则称 相互独立。,定理2,例5 某电路由电子元件A和两个并联的电子元件B，C串联而成，已知元件A，B，C能正常工作的概率依次为0.8，0.9和0.7，假定各电子元件能否正常工作是相互独立的。 (1)求整个电路能正常工作的概率； (2)若整个电路正常工作，分别求A，B能正常工作的概率。,例6 某工人照看甲、乙、丙三台机床，在任意时刻这三台机床不需要照管的概率为0.8,0.9,0.6,设这三台机床是否需要照管是相互独立的，且这名工人同时只能照管一台机床。试求在任意时刻： （1）“有机床需要工人照管”的概率； （2）“机床因无人照管而停工”的概率.,例7

13、 一架长机与两架僚机一起飞往某目的地进行轰炸，三架飞机中只有长机有导航设备，若无导航设备，则飞机不能到达目的地。在飞机到达目的地之前，必须飞过敌方的高射炮阵地上空，这时任何一架飞机被击落的概率都是0.2。到达目的地后，各架飞机独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。（1）求目标被炸毁的概率；（2）如果目标被炸毁，问是被哪种情况炸毁的可能性最大？,例8 一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。每次任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次。如发现有次品，则认为这批产品不合格，但检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品被检验为合格品的概率。,练习 设有一系统由4个元件1，2，3，4组成，其联接方式如下图所示。各元件工作相