量子力学第二节、近自由电子近似简历旅行online.ppt

1、第二节、近自由电子近似,自由电子的能量E=(k)2/2m是连续谱，而孤立原子中电子的能量是一系列分立的能级。 晶体电子与自由电子的区别在于周期势场的有无。假设晶体中有一个很弱的周期势，电子的运动情况比较接近自由电子，同时能体现晶体中电子状态的特点。这样的电子叫做近自由电子。 一维情况为例 设周期势为 V（x），把它作为对自由电子恒定势场的一种微扰。则近自由电子的哈密顿算符=0+ （1） 0= 是自由电子的哈密顿算符。 （2）,一、定态微扰法 1、根据量子力学的定态微扰理论，薛定谔方程k(x) =E(k) k(x) 的解是 2、零级近似解E(0)(k)和k(0)(x)就是自由电子的能量和波函数。

2、 3、能量 一级修正项 二级修正项,含二级修正项的电子能量 4、波函数 一级修正项 其中 由于 因此 含一级修正项的电子波函数,二、简并微扰 1、当k2与(k-kh)2相近时，上述方法求得的波函数和能量的修正项就很大。而这时自由电子的k态与k=k-kh态的能量相近，属于简并情况，应当用简并微扰方法处理。 2、简并态 由k2=(k-kh)2得kh(k-kh/2)=0 即：k=kh/2=h/a k=k-kh=- h/a 一维情况下，简并态有两个 简并态的能量,3、简并微扰 简并微扰的零级近似波函数是自由电子简并态波函数的线性组合： 代入薛定谔方程，并积分得到： A、B不全为零的解的条件是,解得简并

3、微扰态的能量 若两状态能量严格相等（即E(0)(k)= E(0)(k)），则得到 波函数 适当选择原点使V（X）= V（-X），从而使Vh为实数，于是A/B=1。,三、近自由电子能量和波函数的讨论 1、波矢k远离布里渊区边界 当k值离h/a较远时，k也远离边界（因为k- k = h/a），例如图中A点与A 点。 由自由电子的Ek关系知，此时E(0)(k)与E(0)(k )有显著的差异。在弱周期势的前提下，有|E(0)(k)-E(0)(k )|Vh|,能量二级修正项及波函数的一级修正项都很小 在波矢远离布里渊区边界的情况下，近自由电子的能量、波函数与自由电子的能量和波函数极为相近。 2、k值接近

4、布里渊区边界 当波矢k接近布里渊区边界时， k = k- h/a从反方向接近布里渊区边界。如图中的B与B 、C与C 。图6-7,设为一小量， 1，则,由简并微扰态的能量表达式有： 上面两式中最后一项分别表示以为变量的开口向上和开口向下的抛物线。 在布里渊区边界附近，能量E+（K） 和E-（K）分别以抛物线形 式趋向Th+|Vh|和Th-|Vh|,3、k在布里渊区边界上 当k值等于h/a时，k态与k态的零级能量相等 由于弱周期势的作用，自由电子k=h/a和k=-h/a两简并态的能量发生变化，一个升高|Vh|，另一个下降|Vh|（如B和B ，C与C ）图6-7 在布里渊区边界处能量发生跳变，形成禁

5、带。禁带宽度 Eg=E+(K)-E-(K)=2|Vh| 禁带的产生,四、色散关系的三种图式 1、扩展区图式 直接由近自由电子模型得到 各能带分别画在各自的布里 渊区内。 E是k的单值函数 2、简约区图式 由于E是K的周期性函数，各 个能带在扩展区图式的基础 上平移在第一布里渊区表示出来。 E是 k的多值函数 这种图式应用最广,3、重复区图式 由于各个布里渊区是等价的，把简约区的Ek关系扩展到其它区而得到,五、近自由电子的状态密度 1、自由电子的状态密度函数 自由电子的状态密度与E1/2成正比，随E增大，Df(E)单调上升。 2、对于近自由电子，由于写不出适用于整个布里渊区的能量表达式，因而不能

6、像自由电子那样给出适用于整个布里渊区的能态密度DN（E）的解析表达式。,3、二维正方晶格近自由电子的状态密度 色散关系 （1）同一长度的波矢在不同方向上接近布里渊区边界的程度是不同的。 （2）对于一个给定的能量EA，对应的自由电子波矢KF要小于近自由电子的波矢KN。,等能曲线 （1）近自由电子的等能曲线偏离自由电子的圆形等能线，在10方向上等能线向边界凸起。 （2）在临界值EB时，等能曲线在方向与边界相切。能量再增大，等能线破裂，等能曲线分成四段。 （3）在EC处，等能线变成一点。,态密度,六、三维情况下的近自由电子近似 把一维情况推广到三维情况 周期势及其傅里叶展开 自由电子能量和波函数,近

7、自由电子能量与波函数,禁带宽度Eg=|VKh|,1、布拉格反射 设发生简并微扰的两个态是K=Kh/2和K=K-Kh=-Kh/2， 则满足|K|2=( K-Kh)2，即Kh( K-Kh)=0 这是布里渊区界面方程 |Kh|=2KSin 根据K=2/、|Kh|= 2/dhn 得到：2dhSin=n,2、布里渊区 第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳-赛兹元胞 二维正方晶格 （1）各布里渊区的面积（三维是体积、一维是长度）是相等的，都等于倒格子元胞的面积（或体积、长度）。 （2）较高的布里渊区可通过平移而约化到第一区。,面心立方晶格 （1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心立方，倒格子常数（立方边长）为4/a。 （2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） 几个点的波矢k值： ： 2/a（0，0，0） X： 2/a （1，0，0） L： 2/a （-， ， ） K： 2/a （0， ）,体心立方晶格 （1）体心立方格子的格子常数为a，倒格子是面心立方，倒格子常数为4/a。 （2）第一布里渊区为正十二面体 （3）几个点的波矢k值 ： 2/a（0，0，0） H： 2/a （ 0 ， 1 ，0） P： 2/a （， ， ） N： 2/a （0， ， ）,3、能带的交替 在一维情况下，布里渊区边界处能量的跳变对应着