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1、1） 捷线问题 1696年John Bernoolli解决了捷线 问题，问题描述是：对任意给定的 两点，A和B连接起来，使质点在不 考虑磨擦的情况下，从A滑到B所需 时间最短问题，如图1。,第二章 变分法,21 变分法概念,1、 变分法创立有重大影响的三个问题,这一问题的解是：最速降线是摆线。,捷线问题的数学表达式为：,2) 短程线问题,给定一曲面 及其上两点 和 找一条连接A、B两点的线段，使其长度最短，如图2。,短程线问题的数学表达式为：,满足条件 。,3) 等周问题,给定一条定长曲线，问它围成什么形状，包围的面积最大。,等周问题的数学表达式为：,在约束条件下,使,极大。,2、 泛函极值,

2、设泛函 ， 为其定义域内的一点， 为极值点。若对任意的 有 ，则称泛函有极大值；若对任意的 有 ，则称泛函有极小值。,说明： 1）泛函是一个变换、映射，将集合中的一个点 ，影射到数域中的一个点。 2）作为一种特殊情况，若集合为数域时，即为函数。 3）泛函可看作是函数的一种推广。,22 变分的推导,泛函求极值,宗量是 、 、 。对高阶导数并未提出要求，这主要是考虑到对控制系统而言，用状态空间描述时，都是一阶微分方程组，考虑一阶导数，可以满足我们的要求。而且，推导方法可以推广到具有高阶导数的情况。,其中函数 的,设极值点为 ，可取点为 。 与 的差记为 ，则 ，显然， 是 的函数,在上述定义基础上

3、，可将极值点及其导数记为：,及,泛函的差值为,（1）,对多元函数，若函数 ，其一阶偏导数 、- 、 、存在且连续，当自变量各有增量 、 时，函数的增量由中值定理可得,其中 、 、 。,与此类似，对泛函有,记,、,代入（1）式：,现在讨论上式第二个积分项，考虑泛函连续，记,（2）,、,、,则有,若 的一阶偏导数,、,、,存在且连续,则,其中 。上式说明，泛函连续时，若宗量变化很小，则泛函的变化也很小。由此可得,将上式结果代入（2）式，有,记宗量的变分为 、 ，可得,与多元函数的Taylor展开类似，记泛函的变分为,二次变分为,等等，则泛函增量可表示为,（3）,由（3）式可知： 泛函取极值的必要条

4、件是：,泛函取局部极小值的充分条件是：,泛函取局部极大值的充分条件是 ：,泛函的变分也可由如下定理求得。,定理：泛函 的变分为,23 欧拉（Euler）方程,泛函取极值的必要条件是： ，由上节内容，即,将上式第二项分步积分，得,将上式代入必要条件，可得,定理2： 的充分必要条件是,及,证：充分性使显然的。,必要性：由于泛函极值是在可取路径寻找一条曲线取得最优，则变分路径 可任取，即 可正可负，条,件式都能得到满足。由于 只和端点条件,有关，通过自由选取总可使得下面的条件成立,若 ，有,若 ，有,因此，要变分为零，不可能通过上述两项正负相抵消来得到，而必须上述两项分别等于零。即定理必要条件。,定

5、理3： 充分必要条件是,证明思路同上。,由此可得到泛函 极值的必要条件：,（Euler）欧拉方程,横截条件,欧拉方程是一个二阶微分方程，求解时有两个待定常数，可由横截条件得到。虽然横截条件只是一个式子，由于两个端点是独立的，故一个式子可化为两个式子,例：,其中 y(0) ,y(2)任意。,解：由欧拉方程,即,可得到,解得,，其中C1、C2为积分常数。,由横截条件,可得,由于y(0)、y(2)任意，,不为零，因此有,将通解代入，有,当x=0和x=2时，得方程组,解得,注意：欧拉方程只是泛函取极值的必要条件，是极小值还是极大值需进一步判断。,24 向量情况,前面的讨论，是在宗量只有一个时得出的，现

6、在我们将上述结论推广到向量情形，即宗量有多个。,泛函极值问题,，即,与前面同样的方法，可得到泛函极值的向量形式,（Euler）欧拉方程,横截条件,这是一个二阶微分方程组，方程数为n，有2n个积分常数。有横截条件可得到这2n个边界条件，定出常数。,25 有约束的情况,有约束条件的泛函求极值问题如下：,s. t.,（3）,式中,，,，,这一类约束条件称为几何约束。,满足,，表示向量方程的变量多、,方程数少，满足条件的解有无穷多个。,定理4：（化为无约束优化问题）（3）式表示的泛函求极值问题，,、,固定，若,立的，对于适当选取的,的各方程是独,函求极值问题与下列无约束泛函求极值问题彼此完全等价。,，

7、上述有约束泛,、,证：首先证明 使 取得极值，必使 取得极值。由,的极值条件，可得欧拉方程和横截条件。欧拉方程有2n个积分常数，加m个 ，共有2n+m个未知量。由横截条件可定出2n个边界条件，加上约束方程，可解出 和 。由此解出的 可满足状态方程，并使 。这说明 使 取得极值，必使 取得极值。,证明 使 取得极值，必使 取得极值。略。,上述定理的约束方程无微分项，但其结论可推广到有微分项的情况。即泛函求极值,s. t.,式中，,、,、,、,、,与下列无约束泛函求极值问题彼此完全等价。,2.6 端点可变的情况,讨论泛函,积分上下限是可变的。当,求极值问题，其中,、,可变时，,、,可能固定也可能可变。,由于端点可变是反映在横截条件中的，因此端点可变情况下，横截条件肯定是不同的，但Euler方程不变。在端点可变时，任选 的固定点，可得,在上式右边两项，只有一个端点是变化的，因此两个端点可变的情况，可转化为一段可变的情况。我们以下也就讨论一端可变的情形。即 固定 可变。,利用积分中值定理，,若 连续