离散数学》图的基本概念.ppt

1、1,7.2 通路、回路与图的连通性,简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 无向连通图, 连通分支 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点 边割集与割边(桥),2,通路与回路,定义 给定图G=（无向或有向的），设G中顶点与边的交替序列=v0e1v1e2elvl： 若i(1il), vi1 和 vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点, vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路. 理解：通路或回路是点与边的交替序列，边的端点恰好是前后的两个点 长度边数,3,若通路(回路)中所有顶点(对于回路,

2、 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈. 路上各点不重复 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 路上各边不重复,4,通路与回路(续),说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.,5,通路与回路(续),定理 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点vi

3、到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路. 定理 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.,6,无向图的连通性,设无向图G=, u与v连通: u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系：R=| u,v V且uv是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图设V/R=V1,V2,Vk, GV1, GV2, ,GVk是G的连通分支, 连通分支个数记作p(G)=k. G是连通

4、图 p(G)=1,7,短程线与距离,u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=. 性质： d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式),8,点割集（v点；V点集；e边；E变集）,记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边 定义 设无向图G=, 如果存在顶点子集VV, 使p(GV)p(G)，而且删除V的任何真子集V后（

5、 VV），p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若v为点割集, 则称v为割点. 理解：删除点后连通分支数可能增加，会减少吗？,9,点割集(续),例 v1,v4, v6是点割集, v6是割点. v2,v5是点割集吗？,10,边割集,定义 设无向图G=, EE, 若p(GE)p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E为G的边割集. 若e为边割集, 则称e为割边或桥. 下图中，e1,e2，e1,e3,e5,e6，e8等是边割集，e8是桥，e7,e9,e5,e6是边割集吗？,11,几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2

6、 若G连通，V为点割集，则p(GV)2,12,有向图的连通性,设有向图D= u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达 强连通单向连通弱连通,13,有向图的连通性(续),每个顶点有进有出,部分顶点有进有出,14,有向图的短程线与距离,u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d=. 性质： d0, 且d=0 u=v d+d d 注意:

7、 没有对称性,15,7.3 图的矩阵表示,无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 有向图的邻接矩阵 有向图的可达矩阵,16,无向图的关联矩阵,定义 设无向图G=, V=v1, v2, , vn, E=e1, e2, , em, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G的关联矩阵，记为M(G). 性质,17,关联次数为可能取值为0，1，2,18,无向图的相邻矩阵,(1)相邻矩阵是对称矩阵。 (2)对角元素aii0,表示结点vi处有环。 (3)如aij 1,表示vi与vj间有平行边。,aij +2,19,V5,V1 V2 V3 V4 V5,20,有向图的关联矩阵,定义 设无环有向图D=,

8、V=v1, v2, , vn, E=e1, e2, , em, 令 则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).,21,性质: (4) 平行边对应的列相同,22,定义 设有向图D=, V=v1, v2, , vn, E=e1, e2, , em, 令 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称( )nn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 性质,有向图的邻接矩阵,23,24,D中的通路及回路数,定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中 元素 为D中vi到vj长度为 l 的通路数， 为vi到自身长度为 l 的回路数， 为D中长度为 l 的通路总数， 为D中长度为 l 的回路总

9、数.,25,D中的通路及回路数(续),例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题： (1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？,推论 设Bl=A+A2+Al(l1), 则Bl中元素 为D中长度小于或等于l 的通路数， 为D中长度小于或等于l 的回路数.,26,例(续),长度 通路 回路,合计 50 8,1,8 1,2,11 3,3,14 1,4,17 3,27,有向图的可达矩阵,定义 设D=为有向图, V=v1, v2, , vn, 令 称(pij)nn为D的可达矩阵

10、, 记作P(D), 简记为P. 性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.,28,有向图的可达矩阵(续),例 右图所示的有向图D的可达矩阵为,29,如何求有向图的可达矩阵,设D=为有向图，|V|=n, A为D的邻接矩阵； 先求R（rij）A+A2+.+An 再求可达矩阵P（pij）,30,7.4 最短路径及关键路径 对于有向图或无向图G的每条边，附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e上的权. G连同附加在各边上的实数，称为带权图. 设带权图G=,G中每条边的权都大于等于0.u,v为G中任意两个顶点，从u到v的所有通路中带权最小的通路称为u到v的最短路径.

11、 求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题.,31,算法：Dijkstra(标号法),32,例：求图中v0与v5的最短路径,33,v0,v1,v2,v4,v3,34,2.关键路径问题,PERT图 设D=是n阶有向带权图 D是简单图 D中无环路 有一个顶点出度为0，称为发点；有一个顶点入度为0，称为收点 记边的权为wij,它常常表示时间,35,Pert图的应用,用Pert中有向边表示工序，边上权表示完成工序的时间； 用pert图中结点vi表示某个事项，表示某些工序的完工，同时表示某些工序可以开工。 习惯上所有的有向边均从左向右。 PertProgram Evaluation and Rev

12、iew Technic，计划评审技术,36,关键路径,从始点到终点的一条最长路径（发点到收点的一条最长路径 ） 通过求各点的最早完成时间来求关键路径 最早完成时间：自发点v1开始，沿最长路径（按权计算）到达vi所需时间，称为vi的最早完成时间，记为TE（vi） ，i=1,2,n。 TE(vi)表示在前面所有工序均没有耽误的情况下，该事项最早可能完成的时间，此时前面的工序均必须完成。也是后续工程最早开始的时间。,37,这样从始点出发，TE(v0)0，一直计算到收点 vn，TE(vn)就是工程的最早完工时间。,38,1,2,3,4,6,5,7,8,2,4,4,2,3,3,2,6,3,2,4,0,2

13、,6,6,7,13,15,节点的最早完工时间,39,2事项的最晚完成时间 TL(vi)：在保证收点vn的最早完成时间不增加的条件下，该事项vi最晚必须完成的时间，称为该点vi最晚完成时间，记为TL(vi)。 因为有些工序不在关键路上,这些工序有个缓冲时间,稍迟一些时间动工，不会导致整个工程的完工时间，但这也有个限度，TL(vi)就是不耽误整个工程的最早完工条件下，该工序最迟的开工时间，过了这时间开工将影响整个工程。,40,其算法是从收点开始向后计算： 因v0和vn均在关键路上, TE（vn）=TL（vn）， TE（v0）=TL（v0）= 0,41,1,2,3,4,6,5,7,8,2,4,4,2,3,3,2,6,3,2,4,0,5,10,9,7,13,15,节点的最迟完工时间,42,缓冲时间 该事项在不影响整个工程的前提下，可以延滞的时间。 TS(vi)TL(vi)TE(vi),43,关键路径 从发点v0出发到收点vn的一条路径，这条路上任何工序的延滞必导致整个工程的延滞。 关键路是整个工程计划的主要矛盾。 关键路至少一条，也能是不止一条 ，在关键路上T