高中立体几何直线与平面.ppt

1、,问题：空间中直线与平面有几种位置关系？,线 面 位置关系,一：复习,在平面内,平行,如果一条直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 互相垂直。,平面 的垂线,垂足,记作：,l,直线与平面垂直的定义：,（2）,线面垂直,线线垂直,三、实验探究得出定理 如果直线l与平面内的一条（两条，无数条） 直线垂直，则直线和平面互相垂直?,（1）一条直线,（3）两条平行直线,（2）无数条直线,（4）两条相交直线 ？,猜想：直线l与平面内的两条相交直线垂直，那么此直线与这个平面垂直。,l,4、猜想：若直线 与平面内的两条相交直线都垂直，则 .,如何证明这个猜想成立？,文字语言：一条直

2、线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,直线和平面垂直的判定定理：,线线垂直 线面垂直,判定定理,性质,垂直,内,相交,符号语言：,图形语言：,随堂练习,例1 有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？,例2 在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：ACBD.,例3 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,已知： ， ,求证： ,证明：设 是 内的任意一条直线,定义方法判定,练习

3、 :已知 平面 ， 是 的直径， 是 上的任一点，求证： ,练习 : 已知 ， 于 ， 于 ， 于点 ，求证： ,三垂线定理及逆定理,一、三线概念: 平面的斜线、垂线、射影,如图PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,二、三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。,已知:如图,PO为平面的斜线, PA , a在平面内且垂直PO的射影AO. 求证:aPO,证明:,1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系.,2、a与PO可以相交，也可以异面.,3、

4、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理.,说明：,4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题.,三、知识运用,例1. 如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证ABPC.,P,A,B,C,D,证明: PD平面ABC, DC为PC在平面的射影,而ABC为等腰三角形, D为AB的中点, AB CD, AB PC,例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结 BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ABCD是正方形ACBD (AC垂直射影BD)，ACBD1,同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 BD1 而AC AB1 =A BD1平面AB1C,证明：连结BD、,A1B,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,斜线,垂线,规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角,直线和平面所成角的范围是0，90,第个空间角