粘性流体力学3三大方程.ppt

1、粘性流体力学,阎超,第三章 粘性流体力学基本方程组,粘性流体动力学方程组的封闭性 & 适用性,粘性流体的能量方程-能量守恒定律,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,粘性流体的质量方程-质量守恒定律,连续介质假设,连续介质假设,定义 连续介质模型认为(假设)物质连续地无间隙地分布于物质所占有的整个空间，流体宏观物理量是空间点及时间的连续函数,连续介质假设,真实分子分布,意义 流体力学是研究流体的宏观运动，但研究的对象不直接是这些物质粒子本身如分子，而是抽象出来的一种模型连续介质。 通常所说的流体力学，就是指建立在连续介质假设基础上的流体力学。 大量事实证明，连续介质力学在相当广泛的领域内给出了和实

2、际吻合的结果。,连续介质假设,研究范围 研究对象是流体的宏观运动，即大量分子的平均行为，而不是单个分子的个别行为，因而可以不去考虑物质的分子结构和单个分子的运动细节。 物质的分子结构和分子的热运动只对宏观运动存在间接的影响，即只能通过影响物质的热力学特性来影响物体的运动。 当研究物体的变形、流动等宏观运动特性时，就可以将物体作为一种连续体对待，而无须计及它的微观分子结构。 分子动力论是用质点力学和统计学相结合的方法来研究物质宏观力学和热力学性质的科学。这一理论取得了很大成就，但它目前也只能应用于某些简单的气体，远不能解决范围十分宽广的流体力学的大量问题,连续介质假设,适用条件 对于研究对象的宏

3、观尺度和物质结构的微观尺度量级相当的情况，连续介质模型将不再适用 分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，由于空气分子的平均自由程可以和飞行器尺度相当，连续介质流体力学将不再适用 研究稠密大气中强激波的内部结构时，也会由于激波厚度与气体分子平均自由程量级相当，而使连续介质模型失去意义 微机电系统（MEMS）中的流动问题、血液在微血管中（410-6m）的运动 在上述几个例子中，分子运动的微观行为对宏观运动都有着直接的影响。这时，分子动力论才是解决问题的正确方法,粘性流体运动基本方程组,理论基础 流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。这三大

4、定律对流体运动的数学描写就是流体动力学基本方程组。,意义 现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组具有极其重要的意义，因为千变万化的流动现象都是由这个方程组所规定的。 本课程的全部内容，实质上就是在各种具体条件下、用各种不同的方法、以不同的近似程度求解这个方程组，研究解的性质，及其流动表现。,粘性流体运动基本方程组,粘性流体的质量方程-质量守恒定律,质量守恒：流体微元体质量随时间变化率=0,对于任一流体微元体，根据质量守恒定律可得连续方程（也称质量方程） 三维可压缩流的质量方程可表示为：,粘性流体的质量方程-质量守恒定律,按取和约定 上式可表示为:,对于定常流,对于不可压流,粘性流体的

5、运动方程-动量守恒定律,微元体受到两种外力 彻体力（F表示） 作用于微元体内所有质量上的力，如重力、惯性力、电磁力等； 表面力（P表示） 作用在微元体界面上的力，如压力、摩擦力等。 三维可压缩流的运动方程可表示为：,动量守恒：流体微元体动量随时间的变化率=力,(3.1),1,微分符号,称为物质倒数或随体导数，表示流体微元体的某性质随时间的变化率,表示流体微元体速度随时间的变化率，即加速度,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,从流体中取出正六面微元体，以垂直于x轴的两个外表面为例，分析其表面力 左边外表面合应力为 右边外表面合应力为 同样，可得作用在垂直于y轴和z

6、轴的微元面上的表面力的合力为,作用在垂直于X轴的微元面上的表面力的合力为,表面力P,得到作用于单位容积的表面力的合力为,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,上式中Px、Py、Pz都是向量，可以沿三个坐标方向分解，即分解成正应力和平行于各微元面的切应力： （3.3）,表面力P： （3.2）,下标规定如下 正应力 ：下标代表应力的方向 切应力 ：第一个下标代表切应力所在平面的外法线方向，第二个下标代表切应力的方向.,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,要完全描述微元体上的应力，需要九个分量。这九个分量组成了应力张量，表示为 （3.4）,性质 该应力张量是二阶对称张量（否则流体微团会在切应力作用下以无穷

7、大速度旋转） 应力方向规定 正应力 ：取沿作用面外法线方向的 为正； 切应力 ：当作用面的外法线沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的为正，当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方向的为正.,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,将式（3.3）（3.4） 带入（3.2）可得到单位容积的表面力公式： (3.5),粘性流体的运动方程-动量守恒定律,彻体力F也用三个分量表示,(3.6),将公式（3.5）和（3.6）带入到（3.1），则得,(3.7),公式（3.7）是动量守恒定律的严格表述，未引入任何假设。若把彻体力看成已知，则表面应力张量的诸分量未知。,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,应力

8、& 应变 物体的应力与运动学参数之间存在着一定的关系 固体 胡克定律，即弹性固体中应力与应变成正比 流体 不同的流体有不同的性质，这种关系有不同的类型 对于大多数流体, 应力与应变变化率成正比，或者说，应力与应变变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流体称为牛顿流体,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,应变变化率 反映流体运动与变形的对称张量 它是由性质不同的两组分量组成 主对角线上的3个分量描写线应变变化率，反映拉压； 其余6个分量描写角变形率，反映剪切。,(3.8),粘性流体的运动方程-动量守恒定律,牛顿应力公式:牛顿根据实验最早提出了切应力与层间速度梯度成正比：,(3.9),式(3.9)

9、 称为牛顿粘性应力公式 用应变变化率来表示牛顿粘性应力公式：,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,斯托克斯假设 斯托克斯将牛顿粘性应力公式推广到粘性流体的任意流动情形中去，得到广义牛顿粘性应力公式 斯托克斯第一假设 流体是连续的，应力张量与应变变化率张量之间呈线性关系； 流体是各向同性的，其力学特性与方向无关； 所建立的关系应适合运动和静止的情况。 斯托克斯第二假设 流体运动状态下某点的平均压力等于热力学压力，即 。,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,斯托克斯第一假设,应力张量与应变变化率张量之间呈线性关系,流体是各向同性的，因此，Cijkl是四阶各向同性张量，可表示为三个独立分量,所建立的关系

10、应适合运动和静止的情况,利用张量的性质进一步推导得到左式,静止状态时，切应力等于0，应力等于静水压强，因此，上式中应再加一项-pij,由上式可知正应力表达式为： 由斯托克斯第二假设（平均压力等于热力学压力）,平均压力：,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,斯托克斯第二假设,系数与有相同的量纲，且与体积膨胀率divu有关，故称为体积粘性系数或者第二粘性系数； 单原子气体（如氦气），=-2/3；空气，0；大多数液体，0； 一般流体压缩不强的情况下，divu变化小，影响不大。,流体运动状态下某点的平均压力等于热力学压力，即,(3.10),广义牛顿粘性应力公式应用范围很宽，即使在高超声速情况下，只要不处

11、理激波内部速度急剧变化的问题，它都是适用的,广义牛顿粘性应力公式,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,将广义牛顿粘性应力公式（3.10）展开，写出各应力分量的公式,(3.11),如此，则利用已知的应变变化率张量和热力学压力表达出了未知的表面应力张量的诸分量,粘性流体的运动方程-动量守恒定律,将公式（3.11）代入公式（3.7），得到,(3.12),公式（3.12）即为粘性流体的运动方程著名的纳维一斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称NS方程。 （注：一般将粘性流体的质量方程、运动方程和能量方程统称为NS方程，这是广义上的NS方程，狭义上的NS方程仅指运动方程。）,粘性流体的运动方程-

12、动量守恒定律,一般可认为与空间位置无关，整理上式，可得： 对于不可压流体，也可写为： 由上诸式可见：尽管流体都有粘性，但只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。,(3.14),(3.13),航空粘性流体力学问题示例,航空粘性流体力学问题示例,航天粘性流体力学问题示例,航天粘性流体力学问题示例,粘性流体的能量方程一能量守恒定律,意义 能量方程反映了粘性流体在流动过程中满足的能量守恒定律。,粘性流体的能量方程一能量守恒定律,粘性流体的能量方程一能量守恒定律,能量守恒：流体微元体能量随时间的变化率=0,第和第项分别表示系统内单位质量流体的内能和动能 第和第分别表示单位时间内热辐射、化学反应等

13、和边界热传导传入单位质量流体的热量 第项表示单位时间内彻体力对单位质量流体所作的功 第项表示单位时间内粘性应力对运动着的单位质量流体所输运的机械能,小结：控制方程一览（指标形式）,连续方程 动量方程 能量方程,小结：控制方程一览（实体形式）,连续方程 动量方程 能量方程,小结：控制方程一览（微分通量形式）,不考虑彻体力和外部热源，笛卡儿坐标系下的三维非定常可压NS为：,去除方程中的粘性项，原方程退化为无粘流动的Euler方程 对于一维、二维流动，只需保留相应维的流动变量。,小结：控制方程,NS方程是由基本求解量表示的方程 NS方程可以进一步简化得到不同程度的近似方程：,小结：控制方程,粘性流动

14、的数学模型 物理模型：真实对象的合理近似(抽象) 数学模型：物理模型的数学表达 用NS方程可构成牛顿流体在各种不同状况下的数学模型,控制方程,如：静止壁面边界条件 无滑移(粘性流动) 无穿透（无粘流动）,粘性流体动力学方程组的封闭性问题,封闭性 方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目。只有当这两者相等时，对于正确规定的定解条件，方程组的解才可能既存在又唯一 . 未知函数有, U, F, p ,，h(或e)、Q和q共八个（这里把矢量作为一个量）,而方程数目仅三个. 通常假设彻体力F和外热Q是已知。 目前还未找到联系各热力学参数之间的普遍适用关系式。对于空气等气体，常采用完全气体假设，即满足：,粘性流体动力学方程组的封闭性问题,热流密度矢量q,以及对热传导系数，粘性系数 可采用公式： 利用以上的假设和关系，就可使可压缩粘性气体动力学方程组封闭,NS方程的适用性,适用性&前提假设 NS方程推导过程中引人了一些假设。方程组的适用性问题实质上就是这些假设是否正确的问题。 所引入的假设：完全气体的状态方程、广义牛顿粘性应力公式、连续介质假设。 适用范围 连续介质的假设：只要最小涡的尺度大大超过分子平均自由行程，这个假设就是可用的。气体分子的平均自由行程为0.0001mm,液体为0.0000001mm。 NS方程是玻耳兹曼