复变函数全套课件.ppt

1、复变函数,2,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.,第一讲 复数及其代数运算,3,辐角的主值,4,三角表示法,指数表示法,5,方根,单连通域与多连通域,从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.,6,复变函数的概念,注意:,复变函数的极限,极限计算的定理,7,复变函数的连续性,连续的充要条件,8,解,三、典型例题,9,解,10,例,解,例5 求下列复数的辐角主值:,解,12,例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解

2、,故三角表示式为,13,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,14,故三角表示式为,指数表示式为,6、基本问题,(1) 已知方程求图形,解,16,化简后得,一般方法：,17,解,所以它的复数形式的参数方程为,(2)已知图形求方程,例,18,解：,一般方法：,20,例,解,复数的运算,21,例,解,22,即,23,例,解,即,24,25,例1,解,三、典型例题,26,所以象的参数方程为,27,例 函数 将 平面上的下列曲线变成 平 面上的什么曲线？,解,又,于是,表示 平面上的圆.,(1),28,解,表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆.,放映结束，按Esc退出.,29,例2,证 (一),

3、30,根据定理一可知,证 (二),31,1）导数的定义,1. 复变函数的导数与微分,2)复变函数的微分,2. 解析函数,可微,可导,连续,有定义,极限存在,解析,第二章,3. 奇点,4.可导与解析的判定,5、解析函数的判定方法,6.初等解析函数,1)指数函数,2)三角函数,3）对数函数,4)幂函数,39,例,解,解,不满足柯西黎曼方程,41,解,不满足柯西黎曼方程,42,四个偏导数均连续,43,例,证,44,例,解,45,例,解,46,例,例1,例3,解,例4,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 复变函数中负数有对数.,例5,解,例6,解,答案,课堂练习,例7,解,例10 解方程,解,设

4、C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章 1.有向曲线,2.积分计算,（1）用参数方程将积分化成定积分,4.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),5. 闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,6.柯西积分公式,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,7. 高阶导数公式,8.调和函数和共轭调和函数,任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数

5、.,定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,解:(1),例1,直线OB的参数方程为,积分都与路线C 无关,(2),直线OA的参数方程为,直线AB的参数方程为,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(2) 积分路径的参数方程为,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,例3,解,积分路径的参数方程为,例4,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,例,解,根据柯西古萨定理, 有,例3,解,根据柯西古萨定理得,例1 计算,例2 计算,例3 计算,三、典型例题,例1,解,依题意知,根据

6、复合闭路定理,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例3,解,由复合闭路定理,此结论非常重要, 用起来很方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可.,例1,解,由柯西积分公式,三、典型例题,例2,解,例2,解,由闭路复合定理, 得,例2,解,例 3,解,根据柯西积分公式知,三、典型例题,例1,解,根据复合闭路定理,3. 偏积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,解,例1,得一个解析函数,这个函数可以化为,例1,解:,利用柯西黎曼方程,因而得到

7、解析函数,因而得到解析函数,第四章1.复数列,记作,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 项的和,称为级数的部分和.,部分和,2.复数项级数,1) 定义,2) 复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,3)复级数的绝对收敛与条件收敛,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,绝对收敛 条件收敛,称为这级数的部分和.,3.复变函数项级数,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,4. 幂级数,1) 在复变函数项级数中, 形如,的级数称为幂级数.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,3)收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径

8、的情况有三种:,对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.,方法1: 比值法,方法2: 根值法,4)收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,5)幂级数的运算与性质,(2)幂级数的代换(复合)运算,(3),在收敛圆内可以逐项积分, 即,或,5. 泰勒级数,2)常见函数的泰勒展开式,6. 洛朗级数,定理,1),某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的, 这就是 f (z) 的洛朗级数.,2)将函数展为洛朗级数的方法,(1) 直接展开法,而,解,例,解,级数满足必要条件,但,例 判别级数的敛散性.,解,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,例 判别级数的敛散性.,例,

9、故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例,解,例 求下列幂级数的收敛半径,解,说明:,例1,解,例2,解,例3,解,上式两边逐项求导,例4,解,三、典型例题,例1,解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,例2,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,例3,解,洛朗级数在积分上的应用,第五章1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,i) 可去奇点,ii) 极点,极

10、点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,iii)本性奇点,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,3)函数的零点与极点的关系,2. 留数,如果 为 的一级极点, 那末,a),2)留数的计算方法,留数的应用,注1 计算闭路积分,步骤,1 明确积分曲线及内部奇点,2 确定奇点类型,计算留数,3 应用留数定理,求积分,注2 计算定积分(不要求),注3 计算广义积分(不要求),解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,如果补充定义:,时,解,无负幂项,另解,课堂练习,