密码学数学基础第十讲多项式环.ppt

1、第十讲 多项式环,教师：李艳俊,本节内容,一环上的多项式环 二域上的多项式环 三域上的多项式商环,一环上的多项式环,1未定元,定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R上的一个未定元x。,定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R是R的扩环，x是R中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0，a1，a2，an，f(x)=a0a1xa2x2anxn0； 则称x为R上的一个未定元。,2环上的多项式环,定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未定元，a0，a1，a2，anR，称形如 f(x)=a0a1xa2x2anxn 的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式

2、f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。 如果an0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。,如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。,环R上所有关于x的多项式构成的集合记为Rx。,设R是有单位元1的交换环，多项式 f(x)=a0a1xa2x2anxn， g(x)=b0b1xb2x2bmxm， 其中mn，a0，a1，anR， b0，b1，bmR；,规定加法：f(x)g(x)=(a0b0)(a1b1)x(anbn)xnbn1xn1bmxm 。,规定乘法： f(x)g(x)=a0b0(a1b0a0b1)x(a2b0a1b1

3、a0b2)x2(akb0ak1b1a0bk)xkanbmxmn,定义3：设R是有单位元1的交换环，环（Rx，）称为环R上关于x的多项式环。,（1）R的零元0就是Rx的零元；,定理3：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元；,（2）R的单位就是Rx的单位；,（3）若R是整环，则Rx也是整环。,定理2：设R是有单位元1的交换环，则Rx对多项式加法和乘法做成一个有单位元1的交换环。,例1：设f(x)=2x2x2，g(x)=x2Z3x， 计算：f(x)g(x)，f(x)g(x)。,3多项式的根,定义4：设R是有单位元1的交换环，f(x)Rx，称元素rR是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0

4、。,例2：求剩余类环Z8=0，1，2，7上2次多项式x21在Z8内的所有根。,解：f(x)g(x)=2x22x1， f(x)g(x)=2x32x2x1。,解：x21在Z8内的所有根为：1，3，5，7。,练习：在Z10=0，1，2，9中，求f(x)=x27x2的根。,二域上的多项式环,设f(x)=a0a1xa2x2anxn是含有未定元x的多项式，其中系数ai取自某一个域F。,用Fx表示系数在域F上的全体多项式的集合。,定理4：Fx对多项式加法和乘法做成一个整环。,命题1：设F是一个域，对于任意 f(x)，g(x)Fx，若g(x)0，则必定存在唯一的q(x)，r(x)Fx，使得 f(x)=q(x)

5、g(x)r(x)，其中或者r(x)=0，或者deg r(x)deg g(x)。 q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所得的余式。,例3：设f(x)=x3x27，g(x)=2x27，分别在Qx和Z11x中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。,例4：设Z3x中的两个元a(x)=2x42，b(x)=x52，求gcd(a(x)，b(x)=g(x)；并找出s(x)，t(x)Z3x，使g(x)=a(x)s(x)b(x)t(x)。,解：g(x)=gcd(a(x)，b(x)=1；,s(x)=2x4x32x2x1，,t(x)=2x3x22x1。,三域上的

6、多项式商环,命题2：在域F上多项式环Fx中，任意取定一个多项式f(x)= a0a1xanxnFx，其中n=degf(x)0，I=（f(x)），则多项式商环 Fx/（f(x)） =b0b1xbn1xn1I|b0，b1，bn1F。,在域F上多项式环Fx中，任意取定f(x)Fx，则I=g(x)f(x)|g(x)Fx是Fx的理想。,定理5：设F是一个域，则环Fx的每个理想都是一个主理想。,例4：写出Z2x/（x2x1）的加法和乘法的运算表。,解：令P=(x2x1)， Z2x/P=a0a1xP|a0，a1Z2 =P，1P，xP，1xP； 加法和乘法的运算如下表。,推论2：设F是域，p(x)Fx，Fx/(p(x)是域当且仅当p(x)是Fx上不可约多项式。,例5：设P=(x22)，Qx/P=a0a1xP|aiQ；在Qx/P中，求3x4P与5x6P的和与积。,解：(3x4P)(5x6P)=8x2P，,(3x4P)(5x6P)=2x6P。,例6：设域Z3x/(x32x1)=a0a1xa2x2(x32x1)|aiZ3，求x2(x32x1)的逆元。,解：在Z3x/(x32x1)中，,x2+(x32x1) 的逆元为：2x22x1(x32x1)。,作业： 1在Z2x中，设 f(x)=x7x5x4x3x1， g(x)=x3x1， 计算：f