备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题80 不等式选讲

1、专题80 不等式选讲考纲要求:1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型将式子向定值放缩（消元）验证等号成立条件”3、解不等式，特别是含绝对值的不等式.基础知识回顾:一：绝对值不等式： （1）等号成立条件当且仅当 （2）等号成立条件当且仅当 （3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当 二：柯西不等式： 等号成立条件当且仅当或 （1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当 （2）柯西不等式的几个常用变形 柯西不等式的三角公式： 式体现的是当各项系

2、数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。 三：排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：即“反序和乱序和顺序和”应用举例:例1【广东省化州市2018届高三上学期第二次高考模拟考试】已知函数， .（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，解得所以原不等式的解集为（2）由得，令，则，作出函数的图像，得从而实数的取值范围为例2.【广东省五校2018届高三12月联考】已知（1）证明： ；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（

3、1）证明：因为，而，所以（2）解：因为所以或解得，所以的取值范围是例3.【河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试】已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时， 有解，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合题意零点分段可得不等式的解集为.(2)由题意结合绝对值不等式的性质可得的取值范围是.试题解析：（1）当时， ，当时， ，解得，所以；当时， ，解得，所以；当时， ，无解，综上所述，不等式的解集为.（2）当时， 有解， 有解有解有解，因为，所以，所以，即实数的取值范围是.方法、规律归纳:绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a

4、0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解； 构造函数，利用函数的图象求解实战演练:1【辽宁省实验中学分校2018届高三12月月考】已知函数（）当时，求函数的定义域；（）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.【答案】(1) (2) 试题解析：(1)由题意，令解得或，函数的定义域为 (2) ,，即.由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立. 而，故. 点睛：含绝对值不等式的解法有

5、两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向2【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】已知函数。（1）当时，解不等式；（2）求函数的最小值。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得，再根据基本不等式求最小值.试题解析：（1）， 原不等式为，或或或或，原不等式的解集为.3【辽宁省丹东市五校协作体2018届

6、高三上学期联考】函数（）当时，求不等式的解集；（）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围【答案】（）不等式解集为；（） .【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用。（）根据零点分区间法将绝对值不等式化为不等式组求解。（）由绝对值的三角不等式可得，根据换元法可得的最大值为，所以实数的取值范围为。试题解析：（）因为 （当且仅当时，等号成立）。设， ，设， ，当等号成立。要使的解集为,则实数的取值范围为。 4【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】（1）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；（2）若均为正数，求证： .【答案】(1)

7、；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）的解集不是空集即的最小值，求的最小值即可. (2) 即，利用指数函数的性质分和讨论即可试题解析：(1) 令，可知，故要使不等式的解集不是空集，有. （2）由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时， ，可得，当时， ，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立. 5【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】（1）比较与的大小；（2）已知，且，求证： 【答案】（1） （2）见解析试题解析：（1）因为，所以 ；（2）证明：a+b+c=1，a，b，cR+，当且仅当a=b=c时，取等号。6【广州市2018届高三上学期第一次调研测试】已知函数（1

8、）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为，且，求的取值范围【答案】（1）（2）试题解析：（1）当时， 当时，原不等式可化为，解得 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解 当时，原不等式可化为，解得 综上可知，原不等式的解集为或 （2）解法：当时， 所以函数的值域，因为，所以解得 当时， 所以函数的值域，因为，所以解得 综上可知， 的取值范围是 7【2017-2018学年四川省成都市第七中学高三上学期半期考试】已知函数,且的解集为.(1)求的值;(2)若为正数,且,求证.【答案】(1) (2)见解析试题解析：(1) ,设,则当时, ;当时, ;当时, 所以.(2) 由柯西不等式, 所以

9、.8【贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次月考】已知函数,(1)解不等式(2)若对于,有,求证: .【答案】（1）(0,2)；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)原不等式等价于x12x1x+1,求解可得结论;(2)f(x)=|2(xy1)+(2y+1)|,结合条件,利用绝对值三角不等式证明可得结论.9【安徽省黄山市普通高中2018届高三11月“八校联考”】已知函数（）求不等式;（）若函数的最小值为，且，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）|2x1|4，即42x14解不等式求得解集（2）g（x）=f（x）+f（x1）=|2x1|+|2（x1）1|=|2x1|+|2x3|（2x1）（2x3）|=2，故g（x）的最小值为a=2，m+n=a=2（m0，n0），则=根据基本不等式即求得取值范围.试题解析：解：（1）不等式f（x）4，即|2x1|4，即42x14，求得x，故不等式的解集为x|x （2）若函数g（x）=f（x）+f（x1）=|2x1|+|2（x1）1|=|2x1|+|2x3|（2x1）（2x3）|=2，故g（x）的最小值为a=2， m+n=a=2（m0，n0），则=+2=+，故求+的取值范围为+，+）10【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】已知函数.（1）当